第 14 讲 4.3 角 1. 掌握角的定义、表示及度量； 2. 理解并掌握角的性质及角的平分线的定义； 3. 互余和互补的性质. 知识点 01 角的定义、角的表示及角的度量 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做 这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。 角的表示： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3 等。 ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。 ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C 等。 ④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE 等。 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。 角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角 180 等分，每一份就是 1 度的角，单位是度，用“°”表示，1 度记作“1°”， n 度记作“n°”；度、分、秒是常用的角的度量单位。 把一个周角 360 等分，每一份就是一度的角，记作 1°； 把 1°的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1′”； 把 1′的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1″”； 1．下列四个角中，钝角是（ A． ） B． C． D． 【解答】解：∵选项 A 是等于 180°的平角，选项 B 是大于 0°小于 90°的锐角，选项 C 是等于 90°的 直角，而选项 D 是大于 90°且小于 180°的钝角， 故选：D． 2．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O 三种方法表示同一个角的是（ A． B． ） C． D． 【解答】解：A、图中的∠AOB 不能用∠O 表示，故本选项错误； B、图中的∠1 和∠AOB 不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的∠1 和∠AOB 不是表示同一个角，故本选项错误； D、图中∠1、∠AOB、∠O 表示同一个角，故本选项正确； 故选：D． 3．∠1 还可以用 ∠BCE 表示，若∠1＝62.16°，那么 62.16°＝ 62 ° 9 ′ 36 ″． 【解答】解：由图可得，∠1 还可以用∠BCE 表示； ∵0.16°＝9.6′，0.6′＝36″， ∴62.16°＝62°9′36″， 故答案为：∠BCE，62，9，36． 4．计算 77°53′26″+43°22′16″＝ 121°15′42″ ． 【解答】解：77°53′26″+43°22′16″＝121°15′42″． 故答案为：121°15′42″． 5．图中共有 7 个小于平角的角，其中可用一个大写字母表示的角有 2 个． 【解答】解：共有 7 个小于平角的角，分别为：∠BAD，∠DAC，∠BAC，∠B，∠ADB，∠ADC，∠C， 其中可用一个大写字母表示的角有 2 个． 故答案为：7，2． 6．如图，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠1+∠2﹣∠3． 【解答】解：根据题意得：∠1+∠2﹣∠3 ＝65°15′+78°30′﹣（180°﹣65°15′﹣78°30′） ＝143°45′﹣36°15′ ＝107°30′． 知识点 02 角的性质及角的平分线的定义 角的性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。类似的， 还有叫的三等分线。  OB 平分∠AOC  ∠AOB=∠BOC= 1 ∠AOC（或者∠AOC=2∠AOB=2∠BOC） 2 7．如图，用三角板比较∠A 与∠B 的大小，其中正确的是（ ） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定 【解答】解：由图可得，∠A＜45°，∠B＞45°， ∴∠A＜∠B， 故选：B． 8．若∠1＝30.5°，∠2＝30°50'，则∠1 与∠2 的大小关系是（ A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 ） D．无法判断 【解答】解：因为 0.5°＝0.5×60′＝30′， 所以∠1＝30.5°＝30°30′， 而∠2＝30°50'， 所以∠1＜∠2， 故选：C． 9．如图，OC 为∠AOB 内的一条射线，下列条件中不能确定 OC 平分∠AOB 的是（ A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠COB＝∠AOB C．∠AOB＝2∠BOC D． ） 【解答】解：∵OC 为∠AOB 内的一条射线， ∴当∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB，或∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC 时 OC 平分∠AOB， ∴A，C，D 不符合题意，B 选项符合题意， 故选：B． 10．如图，点 O 是直线 AB 上的一点，若∠AOC＝50°，OD 平分∠AOC，∠BOE＝90°，下列结果错误的 是（ ） A．∠BOD＝155° B．∠BOC＝130° C．∠COE＝45° 【解答】解：∵∠AOC＝50°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°，故 B 选项正确； ∵OD 平分∠AOC， D．∠AOD＝25° ∴∠AOD＝ ∠AOC＝ ×50°＝25°，故 D 选项正确； ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝155°，故 A 选项正确； ∵∠BOE＝90°，∠AOC＝50°， ∴∠COE＝180°﹣∠AOC﹣∠BOE＝40°，故 C 选项错误； 故选：C． 11．比较大小：52°52′ ＞ 52.52°． （填“＞”、“＜”或“＝”） 【解答】解：∵0.52×60＝31.2，0.2×60＝12， ∴52.52°＝52°31′12″， 52°52′＞52°31′12″， 故答案为：＞． 12．如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，已知∠AOE＝128°，则∠BOD＝ 64 度． 【解答】解：∵OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线． ∴∠COD＝ ∠COE，∠BOC＝ AOC， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD ＝ ∠COE+ ∠AOC ＝ （∠COE+∠AOC） ＝ ∠AOE ＝ ×128° ＝64°， 故答案为：64． 13．如图，射线 OB、OC 在∠AOD 内部，其中 OB 为∠AOC 的三等分线，OE、OF 分别平分∠BOD 和∠ COD，若∠EOF＝14°，请直接写出∠AOC 的大小． 【解答】解：①当∠AOC＝3∠BOC 时， 设∠BOC＝x，∠DOF＝y， ∵OB 为∠AOC 的三等分线，OF 平分∠COD， ∴∠AOC＝3x，∠COD＝2y，∠BOD＝x+2y， ∵OE 平分∠BOD， ∴∠EOD＝ ∠BOD＝ x+y， ∵∠EOF＝14°， ∴ x+y﹣y＝14°， 解得 x＝28°， 故∠AOC＝3x＝84°． ②当∠AOC＝ ∠BOC 时， 设∠BOC＝2x，∠DOF＝y， ∵OB 为∠AOC 的三等分线，OF 平分∠COD， ∴∠AOC＝3x，∠COD＝2y，∠BOD＝2x+2y， ∵OE 平分∠BOD， ∴∠EOD＝ ∠BOD＝x+y， ∵∠EOF＝14°， ∴x+y﹣y＝14°， 解得 x＝14°， 故∠AOC＝3x＝42°． 综上，∠AOC＝84°或 42°． 14．如图，OE 是∠COA 的平分线，∠AOB＝∠COD． （1）若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC 的度数； （2）比较∠AOC 和∠BOD 的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）∵OE 是∠COA 的平分线，∠AOE＝50°， ∴∠AOC＝2∠AOE＝100°， 又∵∠AOB＝∠COD＝18°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝100°﹣18°＝82°； （2）∠AOC＝∠BOD． 理由：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD． 知识点 03 余角和补角 余角和补角 ①．如果两个角的和是一个直角等于 90°，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余 角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° ②如果两个角的和是一个平角等于 180°，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补 角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° ③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 15．已知∠A＝53°，则∠A 的余角为（ A．47° ） B．127° C．37° D．147° 【解答】解：根据余角的性质，得 90°﹣∠A＝90°﹣53°＝37°． 故选：C． 16．一个角的补角比这个角的余角大（ A．70° ） B．80° C．90° D．100° 【解答】解：设这个角为 x，则这个角的余角为 90°﹣x，补角为 180°﹣x． ∵180°﹣x﹣（90°﹣x）＝180°﹣x﹣90°+x＝90°， ∴一个角的补角比这个角的余角大 90°． 故选：C． 17．如图，∠AOC＝135°，则∠BOC 的度数为（ A．55° B．45° ） C．35° D．25° 【解答】解：由图得：∠AOC 与∠BOC 是邻补角． ∴∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣135°＝45°． 故选：B． 18．75°的余角是 15° ． 【解答】解：75°的余角是 90°﹣75°＝15°． 故答案为：15°． 19．若α＝29°45′，则α的补角等于 150°15′ ． 【解答】解：∵α＝29°45′， ∴α的补角＝180°﹣29°45′＝179°60′﹣29°45′＝150°15′． 故答案为：150°15′． 20．如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB 的度数为 ° 55° ，∠AOB 的余角的度数为 35 ． 【解答】解：由题意可得，∠AOB 的度数为 55°， 故∠AOB 的余角的度数为：90°﹣55°＝35°． 故答案为：55°；35°． 21．如图，已知点 O 是直线 AB 上的一点，∠BOC＝40°，OD、OE 分别是∠BOC、∠AOC 的角平分线． （1）求∠AOE 的度数； （2）直接写出图中与∠EOC 互余的角 ∠COD，∠BOD （3）直接写出∠COE 的补角 ． ∠BOE ； 【解答】解：（1）∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°， ∵OE 是∠AOC 的角平分线， ∴ ；