第 12 讲 4.1 几何图形 1. 掌握什么是立体图形，什么是几何图形以及它们的关系； 2. 了解几何图形的组成及“点动成线，线动成面，面动成体”。 知识点 01 立体图形和平面图形 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。长方体、正方体、球、圆柱、 圆锥等都是立体图形。此外棱柱、棱锥也是常见的立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。长方形、正方形、三角形、圆等 都是平面图形。 立体图形与平面图形：许多立体图形是由一些平面图形围成的，将它们适当地剪开，就可以展开成平面图 形。 1．下列几何体中，是圆柱的为（ A． ） B． C． D． 【解答】解：圆柱体是由两个圆形的底面和一个侧面所围成的几何体， 因此选项 D 中的几何体符合题意． 故选：D． 2．下列几何体，都是由平面围成的是（ A．圆柱 ） B．三棱柱 C．圆锥 D．球 【解答】解：圆柱的侧面是曲面，圆锥的侧面也是曲面，球是有曲面围成的，只有三棱柱是由 5 个平面 围成的， 故选：B． 3．如图是一个直六棱柱，它的棱共有多少条（ A．6 B．8 ） C．12 D．18 【解答】解：如图是一个直六棱柱， 它的棱共有 18 条， 故选：D． 4．在一些常见的几何体正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、圆台、六棱柱、六棱锥中属于柱体有（ A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 【解答】解：一些常见的几何体正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、圆台、六棱柱、六棱锥中， 属于柱体有正方体、长方体、圆柱、六棱柱，4 个， 故选：B． 5．一个棱柱体有 18 条棱，这是一个（ A．六棱柱 ） B．七棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 【解答】解：由 n 棱柱有 3n 条棱可得， 一个棱柱体有 18 条棱，18÷3＝6，因此这个棱柱是六棱柱， 故选：A． 6．一个棱柱有 5 个侧面，那它有 15 条棱， 10 个顶点． 【解答】解：由 n 棱柱有 n 个侧面，3n 条棱，2n 个顶点可得， 一个棱柱有 5 个侧面，则这个棱柱是五棱柱， 五棱柱有 3×5＝15 条棱，有 2×5＝10 个顶点， 故答案为：15，10． 7．五棱柱有 7 个面， 10 个顶点， 15 条棱． 【解答】解：由 n 棱柱有 n+2 个面，3n 条棱，2n 个顶点可得， 五棱柱有 7 个面，10 个顶点，15 条棱， 故答案为：7，10，15． 8．如图是“小房子”的平面图形，它是由长方形和三角形组成的，求这个平面图形的面积． 【解答】解：这个平面图形的面积＝6a2+4ab+0.5b2． ） 9．已知 V 圆柱＝πr2h，V 圆锥＝ πr2h，请计算如图所示（单位：米）“粮仓”的容积． 【解答】解：根据题意可知：圆柱和圆锥的底面半径为 r＝2，圆锥的高 h＝7﹣4＝3，圆柱的高 h＝4． 这个粮仓的容积＝π×32×4+ π×32×3 ＝36π+9π ＝45π． 故答案为：45π． 知识点 02 点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。 包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。面和面相交的地方形成线；线和线相交的地方是点；几何图 形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 10．下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是（ A． B． C． ） D． 【解答】解：将长方形绕着一边所在的直线旋转一周，所得到的几何体是圆柱， 故选：C． 11．将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：A、绕轴旋转一周可得到圆柱，故此选项不合题意； B、绕轴旋转一周，可得到球体，故此选项不合题意； C、绕轴旋转一周，可得到一个中间空心的几何体，故此选项不合题意； D、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，故此选项符合题意； 故选：D． 12．电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”飞速旋转，形成一个圆面，这说明 ② （请填入正确答 案的序号）． ①点动成线；②线动成面；③面动成体． 【解答】解：孙悟空的“金箍棒”飞速旋转，形成一个圆面，这说明线动成面， 故答案为：②． 13．一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转，看上去像形成了一个球，这体现的数学知识是 面动成体 ． 【解答】解：硬币的面可以近似看作“圆形”的面，快速旋转，看上去像形成了一个球，说明“面动成 体”， 故答案为：面动成体． 14．已知如图是边长为 2cm 的小正方形，现小正方形绕其对称轴线旋转一周，可以得到一个几何体，求所 得的这个几何体的体积． 【解答】解：小正方形绕着对称轴所在的直线旋转一周，所得到的圆柱体的底面半径为 1cm，高为 2cm， 所以体积为π×12×2＝2π（cm3）， 答：这个几何体的体积为 2πcm3． 15．小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为 6cm、8cm 和 10cm 的直角三角形，绕其中一条边旋转 一周，得到了一个几何体．请计算出几何体的体积．（锥体体积＝ 底面积×高） 【解答】解：以 8cm 为轴，得 以 8cm 为轴体积为 ×π×62×8＝96π（cm3）， 以 6cm 为轴，得 以 6cm 为轴的体积为 ×π×82×6＝128π（cm3） ， 以 10cm 为轴，得 以 10cm 为轴的体积为 ×π•（ ）2×10＝76.8π（cm3）． 故几何体的体积为：96πcm3 或 128πcm3 或 76.8πcm3． 1．下列图形中，不属于立体图形的是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：圆是平面图形，不是立体图形，圆锥体、圆柱体、正方体都是立体图形， 故选：A． 2．如图，桌面上是一本人教版数学七年级上册教科书，下列说法： ①教科书是长方形；②教科书是长方体，也是棱柱；③教科书的表面是长方形；其中正确的是（ A．①② B．①③ C．②③ ） D．①②③ 【解答】解：教科书是有厚度的，是长方体的，也是四棱柱，它是由 6 个长方形的面围成的，它是个立 体图形，不是平面图形， 因此正确的②③， 故选：C． 3．四棱柱中，棱的条数有（ A．4 条 ） B．8 条 C．12 条 【解答】解：由于 n 棱柱 3n 条棱， 所以四棱柱有 12 条棱， 故选：C． 4．下列说法中，正确的个数是（ ①柱体的两个底面一样大； ②圆柱、圆锥的底面都是圆； ③棱柱的底面是四边形； ） D．16 条 ④长方体一定是柱体． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①柱体的两个底面一样大，说法正确； ②圆柱、圆锥的底面都是圆，说法正确； ③棱柱的底面不一定是四边形，故原说法错误； ④长方体一定是柱体，说法正确． ∴①②④正确． 故选：C． 5．如图，下面的几何体，可以由下列选项中的哪个图形绕虚线旋转一周后得到（ A．. B． C．. ） D．. 【解答】解：由“面动成体”可得，选项 C 中的图形旋转一周可形成如图所示的几何体， 故选：C． 6．夜晚时，我们看到的流星划过属于（ ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【解答】解：彗星可以看作一个点， 流星划过可以理解为“点动成线”， 故选：A． 7．下列现象，能说明“线动成面”的是（ A．天空划过一道流星 B．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹 C．用钢笔写字 ） D．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 【解答】解：A． 天空划过一道流星， “星体”可以看作一个点，此现象给我们“点动成线”的感觉，故 A 不符合题意； B． 汽车挡风玻璃上的“刮雨器”可以看成“线段”，雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹，给我们的感觉是“线 动成面”，因此 B 符合题意； C． 笔尖可以看作“点”，用钢笔写字给我们的感觉为“点动成线”，因此选项 C 不符合题意； D． 一扇门可以看作“面”，旋转“门”给我们感觉为“面动成体”，因此 D 不符合题意； 故选：B． 8．如图几何体中属于棱柱的有 ①③⑤ （填序号）． 【解答】解：棱柱的两个底面是形状、大小相同的多边形，侧面是长方形， 因此①③⑤是棱柱，而②是圆柱，④是圆锥，⑥是球， 故答案为：①③⑤． 9．一个棱柱有 18 条棱，则这个棱柱共有 八 个面． 【解答】解：由 n 棱柱有 3n 条棱， 所以一个棱柱有 18 条棱，则它是 18÷3＝6，因此它是六棱柱， 而六棱柱有 6+2＝8 个面， 故答案为：八． 10．将一个长 3cm 宽 2cm 的长方形沿着边所在直线旋转形成的几何体体积是 圆柱 ． 【解答】解：长方形沿着长或宽旋转的圆柱， 故答案为：圆柱． 11．如下图，第一行的图形绕虚线旋转一周，便形成第二行的某个几何体，请你用线连起来． 【解答】解：第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的某个几何体，用线连起来为： 12．有一个粮仓如图，如果每立方米粮食的质量为 400 千克，这个粮仓最多能装多少千克粮食？ 【解答】解：粮仓的体积为： ×3.14×（2÷2）2×0.6+3.14×（2÷2）2×1.5 ＝3.14×0.2+3.14×1.5 ＝0.628+4.71 ＝5.338（立方米） ， 5.338×400＝2135.2（千克） ， 答：这个粮仓最多能装 2135.2 千克粮食． 13．如图，某酒店大堂的旋转门内部由四块宽为 2 米、高为 3 米的玻璃隔板组成，求该旋转门旋转一周形 成的几何体的体积（边框及衔接处忽略不计，结果保留π）． 【解答】解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，体积为： π×22×3＝12π（m3）． 故形成的几何体的体积是 12πm3． 14．如图所示是一张铁皮． （1）计算该铁皮的面积； （2）它能否做成一个长方体盒子？若能，画出来，计算它的体积；若不能，说明理由． 【解答】解：（1）（1×3+2×3+1×2）×2＝22（m2） ， （2）根据棱柱的展开与折叠，可以折叠成长方体的盒子，如图所示，其长、宽、高分别为 3m，2m，1m， 因此体积为：1×2×3＝6（m3），