第 11 讲 3.4 实际问题与一元一次方程 1. 学会用一元一次方程解决问题； 2. 掌握列一元一次方程解应用题的步骤； 3. 了解常见实际问题类型并掌握解决方法。 知识点 01 用方程解决问题 1.用方程解决问题 列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数（元） 、列出方程、解方程、写出答案。关键在 于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。 解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系 2.列一元一次方程解应用题： （1）读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如： “大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少， 配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填 入代数式，得到方程. （2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部 分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量 之间的关系（可把未知数看做已知量） ，填入有关的代数式是获得方程的基础. 1．根据“x 的 3 倍与 5 的和比 x 的 多 2”可列方程（ A． B． C． D． ） 2．一项工程，甲单独做需要 3 天完成，乙单独做需要 6 天完成，两人合作 x 天可完成，则根据题意可列方 程为（ ） A．3x+6x＝1 B． x＝1 C．（ + ）x＝1 D． x＝ x+1 3．一商店把彩电按标价的九折出售，仍可获利 20%，若该彩电的标价是 3200 元，则彩电的进价为多少元？ 设彩电的进价为 x 元/台，则可列方程为（ A．3200×90%＝20%x ） B．3200×90%＝（1+20%）x C．90%x＝3200×20% D．90%x＝3200×（1+20%） 4．我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车， 九人步，问人与车各几何？其大意为：若 3 个人乘一辆车，则空 2 辆车；若 2 个人乘一辆车，则有 9 个 人要步行，问人与车数各是多少？若设有 x 个人，则可列方程是（ A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x+2）＝2x+9 C． +2＝ D． ﹣2＝ ） 5．《增删算法统宗》记载： “有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？“其 大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍．问他每天各读多 少个字？已知《孟子》一书共有 34685 个字，设他第二天读 x 个字，则下面所列方程正确的是（ A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685 C． x+x+2x＝34685 D．x+ x+ x＝34685 ） 6．为了双十一促销，宁波天一广场某品牌服装按原价第一次降价 25%，第二次降价 120 元，此时该服装的 利润率是 15%．已知这种服装的进价为 800 元，那么这种服装的原价是多少？设这种服装的原价为 x 元， 可列方程为（ ） A． B． C． D． 7．用方程表示“x 的 与 的和是 6”是 ． 8．“杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量贡献了自己的一生，某试验田种植了杂交水稻，2020 年平均 亩产 700 千克，2021 年平均亩产 1000 千克，设此水稻亩产量的平均增长率为 x，则可列出的方程 是 ． 9．一家鞋店稿促销活动，5 月份共卖出运动鞋 213 双，比 4 月份多卖 10%，设 4 月份卖出 x 双运动鞋，可 列方程为 ． 10．某车间有 26 名工人，每人每天可以生产 800 个螺栓或 1000 个螺母，1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每 天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排 x 名工人生产螺栓，则所列方程为 ． 11．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿 多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每 人 6 竿，多 14 竿；每人 8 竿，恰好用完． ”若设有牧童 x 人，根据题意，可列方程为 ． 12．某学校组织 500 名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物 园人数的 2 倍少 10 人，若设到植物园的人数为 x 人，依题意，可列方程为 ． 13．列方程解应用题：一件衬衫先按进价加价 60 元标价，再以 8 折出售，仍可获利 24 元，这件衬衫的进 价是多少钱？ 审题：A 设： ． B： 进价 标价 C：列方程 折数 售价 利润 ． 14．A、B 两地相距 480 千米，一列慢车从 A 地出发，每小时走 60 千米，一列快车从 B 地出发，每小时走 65 千米． （1）两车同时出发相向而行，x 小时相遇，可列方程 ； （2）两车同时出发相背而行，x 小时后两车相距 620 千米，可列方程 ； （3）慢车出发 1 小时后快车从 B 地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？ 知识点 02 实际问题常见类型 实际问题的常见类型关系式： 路程 路程 ，速度= 速度 时间 （单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时） （1）行程问题：路程=时间×速度，时间= （2）工程问题：工作总量=工作时间×工作效率， 工作效率  工作总量=各部分工作量的和； 工作总量 工作总量 ； 工作时间  ； 工作时间 工作效率 （3）利润问题：利润=售价-进价，利润率= （4）商品价格问题： 售价=定价·折· 利润 ，售价=标价×（1-折扣）； 进价 售价  成本 1 ，利润=售价-成本， 利润率   100% ； 10 成本 （5）利息问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率 （6）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 一．选择题（共 5 小题） 1．一双鞋子如果卖 150 元，可赚 50%，如果卖 120 元可赚（ A．20% B．22% ） C．25% D．30% 2．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，则乙工程队单独铺设需要 24 天，如果由这两个工程队从 两端同时施工，铺好这条管线需要的天数是（ A．8 天 B．7 天 ） C．6 天 D．5 天 3．某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时 50 千米的速度行驶，就会迟到 24 分钟；如果以 小时 75 千米的速度行驶，则可提前 24 分钟到达，甲、乙两地的距离是（ A．200 B．120 C．100 ）千米． D．150 4．《孙子算经》中有这样一个问题：“用绳子去量一根木材的长，绳子还余 4.5 尺；将绳子对折再量木材的 长，绳子比木材的长短 1 尺，问木材的长为多少尺？”若设木材的长为 x 尺，则 x＝（ A．2.5 B．6.5 C．7 ） D．11 5．如图，现有 3×3 的方格，每个小方格内均有数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的 三个数字之和均相等，记三个数字之和为 P，则 P 的值是（ ） A．12 B．15 C．18 D．21 二．填空题（共 5 小题） 6．一项工程甲队单独完成需 60 天，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 ．若由甲队先做 10 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 天可以完成此项工程． 7．七年级学生去某处旅游，如果每辆汽车坐 45 人，那么有 15 个学生没有座位；如果每辆汽车坐 60 人， 那么空出 1 辆汽车．则七年级共有 名学生． 8．某工厂甲车间有 54 人，乙车间有 48 人，要使甲车间人数是乙车间人数的 2 倍，则需要从乙车间调往甲 车间 人． 9．一艘轮船在水中由 A 地开往 B 地，顺水航行用了 4 小时，由 B 地开往 A 地，逆水航行比顺水航行多用 了 1 小时，已知此船在静水中速度是 18 千米/时，水流速度为 千米/小时． 10．一件衣服价格为 1650 元，打八折售出仍可盈利 10%．若以 1650 元售出，可盈利 元． 三．解答题（共 4 小题） 11．列方程解应用题：甲、乙两人从相距 60 千米的两地同时出发，相向而行，2 小时后相遇，甲每小时比 乙少走 4 千米，求甲、乙两人的速度． 12．元旦前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少 20 元．若 购进甲种商品 7 件，乙种商品 2 件，需要 760 元． （1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ （2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共 50 件，所用资金恰好为 4400 元．在销售时，甲种商品的每 件售价为 100 元，要使得这 50 件商品所获利润率为 20%，每件乙商品的售价为多少元？ 13．小北同学在校运动会 400 米赛跑中，先以 6 米/秒的速度跑完大部分赛程，最后以 8 米/秒的速度冲刺到 达终点，成绩为 1 分零 5 秒．请问： （1）小北同学冲刺的时间有多长？ （2）如果他想把成绩提高 1 秒（即减少 1 秒钟），他需要提前几秒开始最后冲刺？ 14．如图，数轴上有两点 A、B，对应的数分别为﹣4，2，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x． （1）若点 P 到点 A、点 B 的距离相等，求点 P 对应的 x 的值． （2）数轴上是否存在点 P，使得点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 8？若存在，请求出 x 的值；若不存在， 说明理由． （3）点 A、B 分别以 2 个单位长度/分，1 个单位长度/分的速度向右运动，同时点 P 以 2.5 个单位长度/ 分的速度从 O 点向左运动，当遇到 A 时，点 P 立即以同样的速度向右运动，并不停往返于点 A 与点 B 之间，当点 A 与点 B 重合时，A、B、P 同时停止运动，求此过程中点 P 所经过的总路程是多少？ 一．选择题（共 8 小题） 1．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，全程需 7 个小时，逆流航行全程需要 9 小时，已知水流速度为每小 时 3 千米．若设两个码头间的路程为 x 千米，则所列方程为（ ） A． D． B． C． 2．端午节买粽子，每个肉粽比素粽多 1 元，购买 10 个肉粽和 5 个素粽共用去 70 元，设每个肉粽 x 元，则 可列方程为（ ） A．10x+5（x﹣1）＝70 B．10x+5（x+1）＝70 C．1