第 11 讲 3.4 实际问题与一元一次方程 1. 学会用一元一次方程解决问题； 2. 掌握列一元一次方程解应用题的步骤； 3. 了解常见实际问题类型并掌握解决方法。 知识点 01 用方程解决问题 1.用方程解决问题 列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数（元） 、列出方程、解方程、写出答案。关键在 于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。 解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系 2.列一元一次方程解应用题： （1）读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如： “大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少， 配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填 入代数式，得到方程. （2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部 分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量 之间的关系（可把未知数看做已知量） ，填入有关的代数式是获得方程的基础. 1．根据“x 的 3 倍与 5 的和比 x 的 多 2”可列方程（ A． B． C． D． ） 【解答】解：由题意可得， 3x+5＝ x+2， 故选：B． 2．一项工程，甲单独做需要 3 天完成，乙单独做需要 6 天完成，两人合作 x 天可完成，则根据题意可列方 程为（ ） A．3x+6x＝1 B． C．（ + ）x＝1 x＝1 D． x＝ x+1 【解答】解：根据题意得，（ + ）x＝1， 故选：C． 3．一商店把彩电按标价的九折出售，仍可获利 20%，若该彩电的标价是 3200 元，则彩电的进价为多少元？ 设彩电的进价为 x 元/台，则可列方程为（ ） A．3200×90%＝20%x B．3200×90%＝（1+20%）x C．90%x＝3200×20% D．90%x＝3200×（1+20%） 【解答】解：依题意得：3200×90%﹣x＝20%x， 即 3200×90%＝（1+20%）x． 故选：B． 4．我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车， 九人步，问人与车各几何？其大意为：若 3 个人乘一辆车，则空 2 辆车；若 2 个人乘一辆车，则有 9 个 人要步行，问人与车数各是多少？若设有 x 个人，则可列方程是（ A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x+2）＝2x+9 C． +2＝ D． ﹣2＝ 【解答】解：依题意得： +2＝ ） ． 故选：C． 5．《增删算法统宗》记载： “有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？“其 大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍．问他每天各读多 少个字？已知《孟子》一书共有 34685 个字，设他第二天读 x 个字，则下面所列方程正确的是（ A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685 C． x+x+2x＝34685 D．x+ x+ x＝34685 ） 【解答】解：他第二天读 x 个字，根据题意可得： x+x+2x＝34685， 故选：C． 6．为了双十一促销，宁波天一广场某品牌服装按原价第一次降价 25%，第二次降价 120 元，此时该服装的 利润率是 15%．已知这种服装的进价为 800 元，那么这种服装的原价是多少？设这种服装的原价为 x 元， 可列方程为（ ） A． B． C． D． 【解答】解：设这种服装的原价为 x 元， 根据题意得， ， 故选：D． 7．用方程表示“x 的 与 的和是 6”是 【解答】解：根据题意，得 故答案是： ． ． ． 8．“杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量贡献了自己的一生，某试验田种植了杂交水稻，2020 年平均 亩产 700 千克，2021 年平均亩产 1000 千克，设此水稻亩产量的平均增长率为 x，则可列出的方程是 ×（1+x）＝1000 700 ． 【解答】解：根据题意得：700×（1+x）＝1000， 故答案为：700×（1+x）＝1000． 9．一家鞋店稿促销活动，5 月份共卖出运动鞋 213 双，比 4 月份多卖 10%，设 4 月份卖出 x 双运动鞋，可 列方程为 x（1+10%）＝213 ． 【解答】解：设 4 月份卖出 x 双运动鞋，则 5 月份共卖出运动鞋 x（1+10%）双， 根据题意，得 x（1+10%）＝213． 故答案是：x（1+10%）＝213． 10．某车间有 26 名工人，每人每天可以生产 800 个螺栓或 1000 个螺母，1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每 天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排 x 名工人生产螺栓，则所列方程为 2×800x＝1000（26﹣x） ． 【解答】解：设安排 x 名工人生产螺栓， 根据题意得，2×800x＝1000（26﹣x）． 故答案为：2×800x＝1000（26﹣x）． 11．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿 多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每 人 6 竿，多 14 竿；每人 8 竿，恰好用完． ”若设有牧童 x 人，根据题意，可列方程为 6x+14＝8x ． 【解答】解：设有牧童 x 人， 依题意得：6x+14＝8x． 故答案为：6x+14＝8x． 12．某学校组织 500 名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物 园人数的 2 倍少 10 人，若设到植物园的人数为 x 人，依题意，可列方程为 x+（2x﹣10）＝500 ． 【解答】解：设到植物园的人数为 x 人， 依题意，可列方程为：x+（2x﹣10）＝500， 故答案为：x+（2x﹣10）＝500． 13．列方程解应用题：一件衬衫先按进价加价 60 元标价，再以 8 折出售，仍可获利 24 元，这件衬衫的进 价是多少钱？ 审题：A 设： 这件衬衫的进价是 x 元 ． B： 进价 x元 C：列方程 标价 折数 8折 （x+60）元 0.8（x+60）﹣x＝24 售价 利润 0.8（x+60） [0.8（x+60） 元 ﹣x]元 售价 利润 ． 【解答】解：A 设：这件衬衫的进价是 x 元， B： 进价 标价 折数 x元 （x+60）元 8折 0.8（x+60）元 [0.8（x+60）﹣ x]元 C：列方程：0.8（x+60）﹣x＝24． 故答案是：这件衬衫的进价是 x 元； （x+60）元；8 折；0.8（x+60）元；[0.8（x+60）﹣x]元；0.8（x+60） ﹣x＝24． 14．A、B 两地相距 480 千米，一列慢车从 A 地出发，每小时走 60 千米，一列快车从 B 地出发，每小时走 65 千米． （1）两车同时出发相向而行，x 小时相遇，可列方程 60x+65x＝480 ； （2）两车同时出发相背而行，x 小时后两车相距 620 千米，可列方程 60x+65x+480＝620 ； （3）慢车出发 1 小时后快车从 B 地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？ 【解答】解：（1）由题意可得：60x+65x＝480； 故答案为：60x+65x＝480； （2）由题意可得：60x+65x+480＝620， 故答案为：60x+65x+480＝620； （3）设快车出发 y 小时后追上慢车，根据题意可得： 65y＝60（y+1）+480 解得：y＝108， 答：快车出发 108 小时后追上慢车． 知识点 02 实际问题常见类型 实际问题的常见类型关系式： 路程 路程 ，速度= 速度 时间 （单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时） （1）行程问题：路程=时间×速度，时间= （2）工程问题：工作总量=工作时间×工作效率， 工作效率  工作总量 工作总量 ； 工作时间  ； 工作时间 工作效率 工作总量=各部分工作量的和； （3）利润问题：利润=售价-进价，利润率= （4）商品价格问题： 售价=定价·折· 利润 ，售价=标价×（1-折扣）； 进价 售价  成本 1 ，利润=售价-成本， 利润率   100% ； 10 成本 （5）利息问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率 （6）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 一．选择题（共 5 小题） 1．一双鞋子如果卖 150 元，可赚 50%，如果卖 120 元可赚（ ） A．20% B．22% C．25% D．30% 【解答】解：设鞋子的原价为 x 元， 由题意得：x（1+50%）＝150， 解得：x＝100， 则（120﹣100）÷100＝20%， ∴卖 120 元可赚 20%， 故选：A． 2．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，则乙工程队单独铺设需要 24 天，如果由这两个工程队从 两端同时施工，铺好这条管线需要的天数是（ A．8 天 B．7 天 ） C．6 天 D．5 天 【解答】解：设这两个工程队从两端同时施工 x 天可以铺好这条管线，根据题意，得 x+ x＝1， 解得：x＝8． 故要 8 天可以铺设好这条管线． 故选：A． 3．某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时 50 千米的速度行驶，就会迟到 24 分钟；如果以 小时 75 千米的速度行驶，则可提前 24 分钟到达，甲、乙两地的距离是（ A．200 B．120 C．100 ）千米． D．150 【解答】解：设规定的时间为 x 小时，由题意得 50（x+ ）＝75（x﹣ ）， 解得：x＝2． 则 50（x+ ）＝50×（2+ ）＝120（千米） ． 即甲、乙两地的距离为 120 千米． 故选：B． 4．《孙子算经》中有这样一个问题：“用绳子去量一根木材的长，绳子还余 4.5 尺；将绳子对折再量木材的 长，绳子比木材的长短 1 尺，问木材的长为多少尺？”若设木材的长为 x 尺，则 x＝（ A．2.5 B．6.5 【解答】解：设木材的长为 x 尺， 依题意得：x+4.5＝2（x﹣1）， C．7 D．11 ） 解得：x＝6.5． 故选：B． 5．如图，现有 3×3 的方格，每个小方格内均有数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的