第 14 讲 4.3 角 1. 掌握角的定义、表示及度量； 2. 理解并掌握角的性质及角的平分线的定义； 3. 互余和互补的性质. 知识点 01 角的定义、角的表示及角的度量 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做 这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。 角的表示： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3 等。 ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。 ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C 等。 ④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE 等。 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。 角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角 180 等分，每一份就是 1 度的角，单位是度，用“°”表示，1 度记作“1°”， n 度记作“n°”；度、分、秒是常用的角的度量单位。 把一个周角 360 等分，每一份就是一度的角，记作 1°； 把 1°的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1′”； 把 1′的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1″”； 1．下列四个角中，钝角是（ A． B． ） C． D． 2．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O 三种方法表示同一个角的是（ A． 3．∠1 还可以用 B． C． 表示，若∠1＝62.16°，那么 62.16°＝ ） D． ° ′ ″． 4．计算 77°53′26″+43°22′16″＝ 5．图中共有 ． 个小于平角的角，其中可用一个大写字母表示的角有 个． 6．如图，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠1+∠2﹣∠3． 知识点 02 角的性质及角的平分线的定义 角的性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。类似的， 还有叫的三等分线。  OB 平分∠AOC  ∠AOB=∠BOC= 1 ∠AOC（或者∠AOC=2∠AOB=2∠BOC） 2 7．如图，用三角板比较∠A 与∠B 的大小，其中正确的是（ ） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定 8．若∠1＝30.5°，∠2＝30°50'，则∠1 与∠2 的大小关系是（ A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 ） D．无法判断 9．如图，OC 为∠AOB 内的一条射线，下列条件中不能确定 OC 平分∠AOB 的是（ A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠COB＝∠AOB C．∠AOB＝2∠BOC D． ） 10．如图，点 O 是直线 AB 上的一点，若∠AOC＝50°，OD 平分∠AOC，∠BOE＝90°，下列结果错误的 是（ ） A．∠BOD＝155° B．∠BOC＝130° 11．比较大小：52°52′ C．∠COE＝45° D．∠AOD＝25° 52.52°．（填“＞” 、“＜”或“＝”） 12．如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，已知∠AOE＝128°，则∠BOD＝ 度． 13．如图，射线 OB、OC 在∠AOD 内部，其中 OB 为∠AOC 的三等分线，OE、OF 分别平分∠BOD 和∠ COD，若∠EOF＝14°，请直接写出∠AOC 的大小． 14．如图，OE 是∠COA 的平分线，∠AOB＝∠COD． （1）若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC 的度数； （2）比较∠AOC 和∠BOD 的大小，并说明理由． 知识点 03 余角和补角 余角和补角 ①．如果两个角的和是一个直角等于 90°，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余 角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° ②如果两个角的和是一个平角等于 180°，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补 角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° ③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 15．已知∠A＝53°，则∠A 的余角为（ A．47° B．127° 16．一个角的补角比这个角的余角大（ A．70° ） B．80° C．37° D．147° C．90° D．100° ） 17．如图，∠AOC＝135°，则∠BOC 的度数为（ A．55° 18．75°的余角是 B．45° ． ） C．35° D．25° 19．若α＝29°45′，则α的补角等于 ． 20．如图 所示，用 量角器度 量∠AOB ，可以 读出∠AOB 的度数 为 为 ，∠AOB 的余角 的度数 ． 21．如图，已知点 O 是直线 AB 上的一点，∠BOC＝40°，OD、OE 分别是∠BOC、∠AOC 的角平分线． （1）求∠AOE 的度数； （2）直接写出图中与∠EOC 互余的角 （3）直接写出∠COE 的补角 ； ． 22．（1）如图 1 所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD 平分∠BOC，请判断∠AOD 和∠BOD 之间 的数量关系，并说明理由； （2）已知：如图 2，点 O 在直线 AD 上，射线 OC 平分∠BOD．求证：∠AOC 与∠BOC 互补； （3）已知∠EPQ 和∠FPQ 互余，射线 PM 平分∠EPQ，射线 PN 平分∠FPQ．若∠EPQ＝β（0°＜β＜ 90°），直接写出锐角∠MPN 的度数是 ． 1．下列图中的∠1 也可以用∠O 表示的是（ A． B． ） C． D． 2．如图，射线 OC，OD 分别在∠AOB 的内部、外部，下列结论错误的是（ A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC 3．如果∠AOB 的大小可由量角器测得（如图所示） ，则 ∠AOB＝ 度． 4．一个角的补角加上 10°后，等于这个角的余角的 3 倍，则这个角是（ A．30° B．35° ） C．40° ） D．45° 5．如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分∠DOB．若∠AOD＝110°，则∠COB 等于（ A．35° 6．57.2°＝ 7．比较：28°15′ B．70° 度 C．110° ） D．145° 分． 28.15°（填“＞”、“＜”或“＝”） ． 8．若∠A＝59.6°，则它的余角为 ° ′． 9．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果∠AOD＝125°，那么∠BOC＝ ． 10．计算：182°36'÷4+22°16'×3． 11．完成下列说理过程： 已知，如图，∠AOC＝∠BOE＝90°，OD 是∠COE 的角平分线，且∠DOE＝15°．请你求出∠AOB 的 度数． 解：因为∠AOC＝∠BOE＝90°， 即∠AOB+∠BOC＝90°，∠BOC+∠COE＝90°． 所以∠AOB 与∠BOC 互余，∠BOC 与∠COE 互余． 所以∠ ＝∠ ．（理由： ） 因为 OD 是∠COE 的角平分线， 所以∠COE＝2∠ ． （理由： ） 因为∠DOE＝15°， 所以∠COE＝30°． 所以 ＝ ． 12．如图，点 O 是直线 AB 上一点，∠COD＝50°，OE，OF 分别平分∠AOC 和∠DOB，求∠EOF 的度数． 13．已知：如图所示，OD 平分∠BOC，OE 平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°． （1）求出∠AOB 及其补角的度数； （2）求出∠DOC 和∠AOE 的度数，并判断∠DOE 与∠AOB 是否互补，并说明理由； （3）若∠BOC＝α，∠AOC＝β，则∠DOE 与∠AOB 是否互补，并说明理由． 14．∠AOB 与∠COD 有共同的顶点 O，其中∠AOB＝∠COD＝60°． （1）如图①，若∠BOC＝10°，试判断∠AOC 与∠BOD 的大小关系，并说明理由，求∠AOD 的度数； （2）如图①，猜想∠AOD 与∠BOC 的数量关系，并说明理由； （3）若改变∠AOB，∠COD 的位置，如图②，则（2）的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立， 请直接写出你的猜想．