第9讲 3.1.2 等式的性质 1、掌握方程的解及解方程的概念； 2、掌握等式的性质； 3、掌握移项的定义； 4、会有等式的性质初步解方程. 知识点 01 方程的解及解方程 方程的解： 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解； 注意： “方程的解就能代入”验算！ 解方程： 求方程的解的过程叫做解方程。 1．下列方程中，解为 x＝2 的是（ A．2x﹣1＝1 ） B．2x＝1 C．3x﹣4＝x D．3x+6＝0 【解答】解：A 选项，当 x＝2 时，左边＝4﹣1＝3≠右边，不符合题意； B 选项，当 x＝2 时，左边＝4≠右边，不符合题意； C 选项，当 x＝2 时，左边＝6﹣4＝2＝右边，符合题意； D 选项，当 x＝2 时，左边＝6+6＝12≠右边，不符合题意； 故选：C． 2．下列方程中，其解为﹣1 的方程是（ A．2x﹣1＝4x+3 B．3x＝x+3 ） C． D．2（x﹣3）＝3 【解答】解：A、把 x＝﹣1 代入方程得：左边＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3，右边＝4×（﹣1+3）＝﹣1，左边 ≠右边，故本选项不符合题意； B、把 x＝﹣1 代入方程得：左边＝3×（﹣1）＝﹣3，右边＝﹣1+3＝2，左边≠右边，故本选项不符合题 意； C、把 x＝﹣1 代入方程得：左边＝ ＝﹣ ，左边＝右边，故本选项符合题意； D、把 x＝﹣1 代入方程得：左边＝2×（﹣1﹣3）＝﹣8，右边＝3，左边≠右边，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．下列方程中，其解为 x＝﹣2 的是（ A．3x﹣4＝2 ） B．3（x+1）﹣3＝0 C．2x＝﹣1 D． ﹣1＝0 【解答】解：A．把 x＝﹣2 代入方程 3x﹣4＝2 得：左边＝3×（﹣2）﹣4＝﹣10，右边＝2，左边≠右边， 所以 x＝﹣2 不是方程 3x﹣4＝2 的解，故本选项不符合题意； B．把 x＝﹣2 代入方程 3（x+1）﹣3＝0 得，左边＝3×（﹣2+1）﹣3＝﹣6，右边＝0，左边≠右边， 所以 x＝﹣2 不是方程 3（x+1）﹣3＝0 的解，故本选项不符合题意； C．把 x＝﹣2 代入方程 2x＝﹣1 得：左边＝2×（﹣2）＝﹣4，右边＝﹣1，左边≠右边， 所以 x＝﹣2 不是方程 2x＝﹣1 的解，故本选项不符合题意； D．把 x＝﹣2 代入方程 所以 x＝﹣2 是方程 ﹣1＝0 得：左边＝ ﹣1＝0，右边＝0，左边＝右边， ﹣1＝0 的解，故本选项符合题意； 故选：D． 4．x＝3 是下列方程的解的有（ ） ①﹣2x﹣6＝0；②|x+2|＝5；③（x﹣3）（x﹣1）＝0；④ x＝x﹣2． A．1 个 B．2 个 【解答】解：①∵﹣2x﹣6＝0， ∴x＝﹣3． ②∵|x+2|＝5， ∴x+2＝±5， 解得 x＝﹣7 或 3． （x﹣1）＝0， ③∵（x﹣3） ∴x＝3 或 1． ④∵ x＝x﹣2， ∴x＝3， C．3 个 D．4 个 ∴x＝3 是所给方程的解的有 3 个：②、③、④． 故选：C． 5．已知 x＝﹣1 是方程 2ax＝a﹣3 的解，则 a＝ 1 ． 【解答】解：将 x＝﹣1 代入方程得：﹣2a＝a﹣3， 解得：a＝1． 故答案为：1． 6．方程 2x+▲＝3x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是 x＝2，那么▲处的常数是 2 ． 【解答】解：把 x＝2 代入方程，得 4+▲＝6， 解得▲＝2． 故答案为：2． 知识点 02 等式的性质及移项 等式的性质： （1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； （2）等式两边都乘或除以同一个不等于 0 的数，所得结果仍是等式。 移项： 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。 移项的依据： （1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质 1； （2）系数化为 1 实际上 就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质 2。 移项的作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常 数项合并。 注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。 7．已知 x＝y，字母 m 为任意有理数，下列等式不一定成立的是（ A．x+m＝y+m B．x﹣m＝y﹣m C．mx＝my ） D． 【解答】解：A、等式两边同时加上 m，依据等式的基本性质 1，式子成立，故本选项不符合题意； B、等式两边同时加上﹣m，依据等式的基本性质 1，式子成立，故本选项不符合题意； C、等式两边同时乘以 m，依据等式的基本性质 2，式子成立，故本选项不符合题意； D、等式两边同时除以 1+m，等式不一定成立，故本选项符合题意． 故选：D． 8．下列说法错误的是（ A．若 a＝b，则 ac＝bc B．若 b＝1，则 ab＝a ） C．若 ，则 a＝b D．若（a﹣1）c＝（b﹣1）c，则 a＝b 【解答】解：（D）当 c＝0 时，则 a 不一定等于 b，故 D 错误； 故选：D． 9．下列各式运用等式的性质变形，错误的是（ ） A．若 ac＝bc，则 a＝b B．若 ，则 a＝b C．若﹣a＝﹣b，则 a＝b D．若（m2+1）a＝（m2+1）b，则 a＝b 【解答】解：A．当 c＝0 时，由 ac＝bc 不能推出 a＝b，故本选项符合题意； B．∵ ＝ ， ∴乘以 c 得：a＝b，故本选项不符合题意； C．∵﹣a＝﹣b， ∴a＝b，故本选项不符合题意； D．∵（m2+1）a＝（m2+1）b， ∴a＝b，故本选项不符合题意； 故选：A． 10．下列等式变形正确的是（ ） A．由 a＝b，得 4+a＝4﹣b B．如果 2x＝3y，那么 C．由 mx＝my，得 x＝y D．如果 3a＝6b﹣1，那么 a＝2b﹣1 【解答】解：A、由 a＝b，等式左边加上 4，等式的右边也应该加上 4，等式才会仍然成立，故此选项不 符合题意； B、如果 2x＝3y，等式的左右两边同时乘以﹣3，可得﹣6x＝﹣9y，等式的左右两边同时加上 2，可得 2 ﹣6x＝2﹣9y，等式的左右两边同时除以 3，可得 ，故此选项符合题意； C、由 mx＝my，当 m≠0 时，等式左右两边同时除以 m，可得 x＝y，故此选项不符合题意； D、由 3a＝6b﹣1，等式左右两边同时除以 3，可得 a＝2b﹣ ，故此选项不符合题意； 故选：B． 11．将方程 x+3y＝8 变形为用含 y 的式子表示 x，那么 x＝ 8﹣3y ． 【解答】解：x+3y＝8， x＝8﹣3y． 故答案为：8﹣3y． 12．如果将方程 3x﹣2y＝25 变形为用含 x 的式子表示 y，那么 y＝ ． 【解答】解：移项，得：﹣2y＝25﹣3x， 方程两边同时除以﹣2，得：y＝ 故答案为： ， ． 13．在等式 3a+5＝2a+6 的两边同时减去一个多项式可以得到等式 a＝1，则这个多项式是 【解答】解：等式两边同时减去（2a+5），可得 a＝1． 故答案为：2a+5 14．下列方程的解是 x＝﹣1 的是（ A． x+2＝0 B．2x+2＝0 ） C．3x﹣2＝x D． 【解答】解：将 x＝﹣1 分别代入各个方程可得， A．左边＝ ×（﹣1）+2＝1.5，右边＝0，左边≠右边，因此选项 A 不符合题意； B．左边＝2×（﹣1）+2＝0，右边＝0，左边＝右边，因此选项 B 符合题意； C．左边＝3×（﹣1）﹣2＝﹣5，右边＝﹣1，左边≠右边，因此选项 C 不符合题意； D．左边＝5×（﹣1）＝﹣5，右边﹣＝ ，左边≠右边，因此选项 D 不符合题意； 故选：B． 15．下列方程解为 的是（ A．2x﹣2＝0 B． ） C． D．2x+1＝0 【解答】解：A．当 x＝ 时，2× ﹣2＝﹣1≠0，故方程解不是 ，故选项不合题意； B．当 x＝ 时， × ＝ ≠0，故方程解不是 ，故选项不合题意； 2a+5 ． C．当 x＝ 时， × ＝ ，故方程解是 ，故选项符合题意； D．当 x＝ 时，2× +1≠0，故方程解不是 ，故选项不合题意； 故选：C． 16．已知等式 3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ A．3a+1＝2b+6 B．3a﹣5＝2b ） C．a＝ b+ D．3＝ + 【解答】解：由等式 3a＝2b+5，可得：3a+1＝2b+6，3a﹣5＝2b，a＝ b+ ， 在 a≠0 的前提下，两边都除以 a 可得 3＝ + ，故此式不一定成立． 故选：D． 17．下列变形错误的是（ ） A．由 x＝y 得：﹣8x＝﹣8y B．由 3x＝2 得：x＝ C．由 2﹣x＝3 得：x＝3﹣2 D．由 3x﹣4＝2x 得：3x＝2x+4 【解答】解：A．∵x＝y， ∴﹣8x＝﹣8y，故本选项不符合题意； B．∵3x＝2， ∴x＝ ，故本选项不符合题意； C．∵2﹣x＝3， ∴﹣x＝3﹣2， ∴x＝﹣3+2，故本选项符合题意； D．∵3x﹣4＝2x， ∴3x＝2x+4，故本选项不符合题意； 故选：C． 18．若 x＝y+2，则下列式子一定成立的是（ A．x﹣y+2＝0 B．x﹣2＝﹣y 【解答】解：A．∵x＝y+2， ∴x﹣y﹣2＝0，故本选项不符合题意； B．∵x＝y+2， ∴x﹣2＝y，故本选项不符合题意； ） C．2x＝2y+2 D． C．∵x＝y+2， ∴2x＝2y+4，故本选项不符合题意； D．∵x＝y+2， ∴ ＝ +1， ∴ ﹣ ＝1，故本选项符合题意； 故选：D． 19．写出一个以字母 y 为未知数且解为﹣2 的方程： y+2＝0（答案不唯一） ． 【解答】解：满足题意的方程为 y+2＝0， 故答案为：y+2＝0（答案不唯一）． 20．将方程 36x﹣2y＝56 变形为用含 x 的式子表示 y 的形式是 y＝18x﹣28 ． 【解答】解：∵36x﹣2y＝56， ∴2y＝36x﹣56， ∴y＝18x﹣28， 故答案为：y＝18x﹣28． 21．由 3x＝2x+1 变为 3x﹣2x＝1，是方程两边同时加上 ﹣2x ． 【解答】解：由 3x＝2x+1 变为 3x﹣2x＝1，在此变形中，方程两边同时加上﹣2x． 故答案为：﹣2x． 22．利用等式的性质解方程并检验： ． 【解答】解：根据等式性质 1，方程两边都减去 2， 得： ， 根据等式性质 2，方程两边都乘以﹣4， 得：x＝﹣4， 检验：将 x＝﹣4 代入原方程，得：左边＝ 所以方程的左右两边相等，故 x＝﹣4 是方程的解． 23．判断下列说法是否成立，并说明理由： （1）由 a＝b，得 ； （2）由 x＝y，y＝ ，得 x＝ ； ，右边＝3，