第6讲 1. 2. 3. 4. 5. 整式 掌握代数式的概念以及理解字母表示数的意义； 会用含字母的式子表示实际问题的数量关系； 掌握单项式、多项式以及整式的相关概念； 会判别代数式、单项式、多项式以及整式； 掌握多项式的升幂和降幂排列。 知识点 01 代数式及书写规范 用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数 有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产 有意义；单独一个数或一个字母也是代数式；用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如 n,-1,2n+500,abc。 代数式书写规范 （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘中通常使用“· ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号； （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如 a×5 应写成 5a； （4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如 a× 1 1 3 应写成 a； 2 2 （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如 3÷a 写成 3 的形式； a （6）a 与 b 的差写作 a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为 a、b 时，则应分类，写做 a-b 和 b-a . 出现除式时，用分数表示； (7)若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。 1．下列各式符合代数式书写规范的是（ A．m×6 2．代数式 B． 的意义是（ A．x 除以 y 加 3 B．y 加 3 除 x ） C．x﹣7 元 ） D．2 xy2 C．y 与 3 的和除以 x D．x 除以 y 与 3 的和所得的商 3．举例说明代数式 8a3 的意义： ． 4．下列各式：ab•2，m÷2n， xy，1 a， 其中符合代数式书写规范的有 个． 5．请你用实例解释下列代数式的意义． （1）﹣4+3； （2）3a； （3） （ ）3． 知识点 02 单项式 定义：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 单项式的系数：单项式中的数字因数；单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的 系数； 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和 6．下列代数式中，为单项式的是（ A． B．a 7．单项式﹣xy2 的系数是（ A．﹣1 A．5 9．单项式﹣ B．4 的系数是 C． D．x2+y2 C．2 D．3 C．3 D．2 ） B．1 8．单项式 22xy2 的次数是（ ） ） ，次数是 ． 10．观察下列关于 x 的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…，按照上述规律，第 2021 个单 项式是 ． 11．已知 x2y|a|+（b+2）是关于 x、y 的五次单项式，求 a2﹣3ab 的值． 知识点 03 多项式 几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为 0。 2 2 注意： （若 a、b、c、p、q 是常数）ax +bx+c 和 x +px+q 是常见的两个二次三项式 12．多项式 3m3+4m2n2﹣1 的次数是（ A．2 ） B．3 13．多项式 4x2﹣ C．4 ﹣ x+1 的三次项系数是（ A．3 B．﹣3 14．多项式﹣5xy+xy2﹣1 是（ A．二次三项式 D．7 ） C．﹣ D．﹣ C．四次三项式 D．五次三项式 ） B．三次三项式 15．多项式 3a2﹣2a﹣7a3+4 是 次 项式． 16．已知整式（a﹣1）x3﹣2x﹣（a+3） ． （1）若它是关于 x 的一次式，求 a 的值并写出常数项； （2）若它是关于 x 的三次二项式，求 a 的值并写出最高次项． 知识点 04 整式 单项式和多项式统称为整式，即凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.  单项式 整式分类为： 整式   多项式 . 注意：分母上含有字母的不是整式 17．下列各式中不是整式的是（ A．3a ） B． 18．下列各式﹣ mn，m，8， ，x2+2x+6， A．3 个 B．4 个 C． ， C．6 个 D．0 ， 中，整式有（ D．7 个 ） 19．在①1﹣a；② ；③ ；④﹣ ；⑤ ；⑥（x+1） （x+2）＝0 中， 是整式． （填 写序号） 知识点 05 多项式的升幂和降幂排列 把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或 降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 20．把多项式 3xy2﹣2x2y+1﹣x3 按字母 x 的降幂排列为 ． 21．把多项式 4x2y+3xy2 ﹣2y3+x3 按照 x 的降幂排列是： ，按照 x 的升幂排列 ，按照 y 的降幂排列是： 是： 是： ，按照 y 的升幂排列 ． 22．把多项式 a3﹣b3﹣3a2b+3ab2 重新排列． （1）按 a 升幂排列； （2）按 a 降幂排列． 一．选择题 1．下列代数式符合规范书写要求的是（ A．﹣1x ） B．1 xy C．0.3÷x 2．用代数式表示：a 与 3 差的 2 倍．下列表示正确的是（ A．2a﹣3 B．2a+3 3．下列各式中是单项式的是（ A．m+n ） C．2（a﹣3） D．2（a+3） C．2xy2 D．（5a+2b）2 ） B．2x﹣3y 4．下列说法正确的是（ D．﹣ a ） A．2 不是单项式 B． 是单项式 C．单项式 x 的系数是 0 D．4x2﹣3 是多项式 5．下列式子：x2+1， +4， A．6 个 ， ，﹣5x，0， B．5 个 6．多项式﹣x2﹣2x﹣1 的各项分别是（ C．4 个 ） 中，整式的个数是（ D．3 个 ） A．﹣x2，2x，1 7．单项式﹣ B．﹣x2，﹣2x，﹣1 的系数和次数是（ C．x2，2x，1 D．x2，﹣2x，﹣1 ） A．系数是 ，次数是 3 B．系数是﹣ ；，次数是 5 C．系数是﹣ ，次数是 3 D．系数是 5，次数是﹣ 8．多项式 2x2﹣5x2y﹣y2﹣3 的次数和三次项分别是（ A．2 和 5x2y B．3 和 5x2y ） C．4 和﹣5x2y D．3 和﹣5x2y 二．填空题 9．代数式 a×1 应该写成 ． 10．单项式 ah 的次数是 ． 11．若多项式（k﹣1）x2+3x|k+2|+2 为三次三项式，则 k 的值为 12．若 2x2﹣3x＝2，则 4x2﹣6x+5 的值是 ． ． 13．把多项式 x4﹣y4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3 用适当的方式排列． （1）按字母 x 的升幂排列得： ； （2）按字母 y 的升幂排列得： ． 三．解答题 14．下列代数式中，哪些是整式？ ①x2+y2；②﹣x；③ ；④6xy+1；⑤ ；⑥0；⑦ 15．如果 2xny4 与 m2x2y|m ． ﹣n| 都是关于 x、y 的六次单项式，且系数相等，求 m、n 的值． 16．回顾多项式的有关概念，解决下列问题： （1）求多项式﹣ x3y3+ x4y 中各项的系数和次数； （2）若多项式﹣5xa+1y2﹣ x3y3+ x4y 的最高次项次数是 7，求 a 的值．