第4讲 有理数的乘除法 1. 掌握有理数乘除法法则； 2. 掌握倒数的定义； 3. 会进行有理数乘除的混合运算。 知识点 01 有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘” 的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同 0 相乘，都得 0； 法则三：几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为 0,则积等于 0. 1．﹣2×3＝（ ） A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣23 C．8 D．﹣8 【解答】解：﹣2×3＝﹣6． 故选：A． 2．计算﹣4×（﹣2）的结果等于（ A．12 B．﹣12 ） 【解答】解：原式＝4×2＝8． 故选：C． 3．若 abc＞0，其 a、b、c（ ） A．都大于 0 B．都小于 0 C．至少有一个大于 0 或三个大于 0 D．至少有一个小于 0 【解答】解：∵abc＞0， ∴a、b、c 有一个大于 0，另外两个小于 0 或三个大于 0． 故选：C． 4．已知|a|＝4，|b|＝2，那么 ab＝ 8 或﹣8 ． 【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝2， ∴a＝±4，b＝±2， ∴a＝4，b＝2 时，ab＝4×2＝8； 当 a＝4，b＝﹣2 时，ab＝4×（﹣2）＝﹣8． 当 a＝﹣4，b＝2 时，ab＝（﹣4）×2＝﹣8． 当 a＝﹣4，b＝﹣2 时，ab＝（﹣4）×（﹣2）＝8． ∴ab 的值为 8 或﹣8． 故答案为：8 或﹣8． 5．用“＞”，“＜”或“＝”号填空：若 a＜c＜0＜b，则 abc ＞ 0；若 a＜b＜c＜0，则 abc 【解答】解：若 a＜c＜0＜b，则 abc＞0；若 a＜b＜c＜0，则 abc＜0， 故答案为：＞，＜． 6．计算： （1） （﹣ ）×（﹣ ）×（﹣ （2） （﹣5）×（﹣ ）× ）； ×0×（﹣325） ． 【解答】解：（1）（﹣ ）×（﹣ ）×（﹣ ＝﹣ × × ＝﹣ ； （2） （﹣5）×（﹣ ）× ×0×（﹣325） ＝0． 7．简便方法计算： ①（ ﹣ ﹣ ）×（﹣27）； ②﹣6× +4× ﹣5× ． 【解答】解：①原式＝ ＝﹣6+9+2 ＝5． ） ＜ 0． ②原式＝ ×（﹣6+4﹣5） ＝ （﹣7） ＝﹣3． 知识点 02 倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为 a· 和 1 1 1 互为倒数，即 a 是 的倒数， 是 a 的倒数。 a a a 1 =1（a≠0），就是说 a a 互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；若 a≠0，那么 a 的倒数是 1 ；倒数是本身的 a 数是±1；若 ab=1 a、b 互为倒数；若 ab=-1 a、b 互为负倒数. 注意：①0 没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带 分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 （求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是 1 或-1,不包括 0。 8．﹣ 的倒数是（ A．﹣2 ） B． C．﹣ D．± C．﹣ D． 【解答】解：﹣ 的倒数是：﹣2． 故选：A． 9．2021 的相反数的倒数是（ A．﹣2021 ） B．2021 【解答】解：2021 的相反数是﹣2021， ﹣2021 的倒数是﹣ ， 故选：C． 10．若 a、b 互为倒数，则 2ab﹣5 的值为（ A．1 B．2 【解答】解：根据题意得：ab＝1， 则 2ab﹣5＝2﹣5＝﹣3． ） C．﹣3 D．﹣5 故选：C． 11．﹣1 的倒数是 倒数是 ﹣ ﹣1 ， ，﹣8 的倒数是 ﹣ ﹣ ， 的倒数是 的倒数是﹣2． 【解答】解：由乘积为 1 的两个数互为倒数得， ∵﹣1×（﹣1）＝1， ∴﹣1 的倒数是﹣1； ∵﹣8×（﹣ ）＝1， ∴﹣8 的倒数是﹣ ； ∵﹣ ×（﹣7）＝1， ∴﹣ 的倒数是﹣7； ∵ × ＝1， ∴ 的倒数是 ； ∵﹣1 ×（﹣ ）＝1， ∴﹣1 的倒数是﹣ ； ∵﹣ ×（﹣2）＝1， ∴﹣2 的倒数是﹣ ， 故答案为：﹣1，﹣ ，﹣7， ，﹣ ，﹣ ． 12．若 a，b 互为倒数，则 a×b﹣5＝ ﹣4 ． 【解答】解：∵a，b 互为倒数， ∴ab＝1， ∴a×b﹣5＝1﹣5＝﹣4， 故答案为：﹣4． 13．若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值为 4． （1）直接写出 a+b，cd，m 的值； （2）求 m+cd+ 的值． ﹣7 ， 的倒数是 ，﹣1 的 【解答】解：（1）∵a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值为 4， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝±4； （2）由（1）得： 原式＝±4+1＝5 或﹣3． 知识点 03 有理数的除法法则 a 0 （1）除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， 即 无意义 . （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0 14．计算： （﹣8）÷2 的结果是（ A．﹣16 ） B．﹣4 C．﹣8 D．﹣12 【解答】解：（﹣8）÷2 ＝﹣（8÷2） ＝﹣4， 故选：B． 15．计算（﹣10）÷（﹣5）的结果等于（ A．﹣ B． ） C．﹣2 【解答】解：（﹣10）÷（﹣5） ＝+（10÷5） ＝2． 故选：D． 16．若 ab＜0，则 的值是（ ） A．大于 0 B．小于 0 C．大于或等于 0 D．小于或等于 0 【解答】解：∵ab＜0， ∴a，b 异号， ∴ ＜0， 故选：B． 17．计算： ＝ ． D．2 【解答】解：原式＝﹣3×（﹣ ）＝ ， 故答案为： ． 18．计算： ＝ ． 【解答】解：原式＝ ， 故答案为：﹣ ． 19．计算：3 ÷1 ÷2 ． 【解答】解：原式＝ ＝ ． 20．计算： ． 【解答】解： ＝ ＝ ＝2． 知识点 04 有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。 21．计算（﹣9）÷ × 的结果是 ﹣4 ． 【解答】解：（﹣9）÷ × ＝（﹣9）× × ＝﹣6× ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 22．计算（﹣48）÷ ÷（﹣12）× 的结果是 【解答】解：原式＝（﹣48）× ＝4． 故答案为：4． 4 ． 23．计算： ． 【解答】解：原式＝﹣ ÷（﹣ ）× ＝﹣ ×（﹣ ）× ＝ ． 24．计算： （﹣ ）÷（﹣2 ）× ． 【解答】解：原式＝ × × ＝ ． 一．选择题 1．﹣2021 的倒数为（ A． ） B． 【解答】解：﹣2021 的倒数为：﹣ C．﹣2021 D．2021 C．﹣5 D．5 C．是非正数 D．是非负数 ． 故选：A． 2．计算（﹣3）×（﹣2）的结果等于（ A．﹣6 B．6 ） 【解答】解：（﹣3）×（﹣2） ＝+（3×2） ＝6． 故选：B． 3．若 ab＜0，则 的值（ A．是正数 B．是负数 【解答】解：∵ab＜0， ∴a 与 b 异号， ∴ 的值是负数． 故选：B． ） 4．在①任何两个互为相反数的数的商为﹣1；②任何一个不是 1 的正数都大于它的倒数；③若 a＞b＞0， 则 ；④若 A．1 个 ，则﹣1＜a＜0 中，正确的有（ B．2 个 ） C．3 个 D．4 个 【解答】解：0 的相反数是 0，但是 0 不能当除数，故①错误； 的倒数是 ，但 ＜ ，故②错误； ∵a＞b＞0， ∴ab＞0，b﹣a＜0， ∴ ﹣ ＝ ∴ ＜0 ，故③正确； ∵ ＜﹣1＜0，a＜0， ∴1＞﹣a， ∴a＞﹣1， ∴﹣1＜a＜0，故④正确； 故选：B． 5．已知|x|＝5，|y|＝2，且 xy＜0，则 x﹣y 的值是（ A．7 B．﹣3 ） C．7 或﹣3 【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝2， ∴x＝±5，y＝±2． 又 xy＜0， ∴x＝5，y＝﹣2 或 x＝﹣5，y＝2． 当 x＝5，y＝﹣2 时， x﹣y＝5﹣（﹣2）＝7， 当 x＝﹣5，y＝2 时， x﹣y＝﹣5﹣2＝﹣7． ∴x﹣y 的值是 7 或﹣7．． 故选：D． 6．下列说法： ①如果两个数的和为 1，则这两个数互为倒数； D．7 或﹣7 ②如果两个数积为 0，则至少有一个数为 0； ③绝对值是本身的有理数只有 0； ④倒数是本身的数是﹣1，0，1． 其中错误的个数是（ A．0 个 ） B．1 个 C．2 个 D．3 个 【解答】解：①如果两个数的积为 1，则这两个数互为倒数，故本项错误； ②相如果两个数积为 0，则至少有一个数为 0，正确； ③绝对值等于其本身的有理数是零和正数，故本项错误； ④倒数等于其本身的有理数是 1 和﹣1，故本项错误； 错误的有①③④，共 3 个． 故选：D． 二．填空题 7．计算：﹣0.125÷ ＝ ﹣ ． 【解答】解：原式＝﹣ × ＝﹣ 故答案为：﹣ ， ． 8．计算：﹣100÷10× ＝ 【解答】解：原式＝﹣10× ﹣1 ． ＝﹣1， 故答案为：﹣1 9．如果 a 的倒数为﹣1，那么 a2019 等于 ﹣1 ． 【解答】解：因为 a 的倒数为﹣1， 所以 a＝﹣1， 所以 a2019＝（﹣1）2019＝﹣1， 故答案为：﹣1． 10．两个非零的有理数的和是 0，则它们的商是 ﹣1 ． 【解答】解：根据题意，两个非零的有理数的和是 0， 则这两个数互为相反数，且不为 0， 则它们的商是﹣1， 故答案为﹣1． 11．已知有 4 个有理数相乘，积的符号是负号，那么这 4 个有理数中正数有 3或1 【解答】解：∵4 个有理数相乘，积的符号是负号， ∴这 4 个有理数中，负数有 1 个或 3 个． ∴正数的个数为 3 个或 1 个． 故答案为：3 或 1 个． 12．若有理数 x，y 的乘积 xy 为正，则 的值为 【解答】解：∵有理数 x，y 的乘积 xy 为正， ∴x，y 同时为正数或同时为负数， 当 x，y 同时为正数时， ＝1+1+1＝3， ； 当 x，y 同时为负数时， ＝﹣1﹣1+1＝﹣1． 故答案为：3 或﹣1． 三．解答题 13．做一