第 5 讲小节 1.5.1 乘方 1. 掌握乘方的相关概念； 2. 能够熟练地进行有理数混合运算. 知识点 乘方 1.5.1 乘方 1.定义：一般地， 个相同的因数 相乘，记作 ，读作“ 的 次幂（或 的 次方）”，即 2.求 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂 3.当底数是负数或分数时,底数一定要加上括号 (1)注意 与 的区别和 的区别 4. 5.(1)正数的任何次幂都是正数；(2)负数的奇次幂是负数；(3)负数的偶次幂是正数； 6.做有理数的混合运算时，应注意以下运算步骤： (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行; (3)如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 一、选择题 1． (5)6 表示（ ） A．6 乘以 5 B．6 个 5 连加 C．6 个 5 连乘 D．5 个 5 连乘 【答案】C 【分析】 根据幂指数代表底数相乘的次数可得出答案． 【详解】  a b 代表 b 个 a 相乘，  (5)6 表示 6 个-5 相乘， 故选：C． 【点睛】 本题考查幂指数所表示的意义，比较基础，掌握基础概念是解题关键． m个 2 2  2 L  2 2． 3  3  L  3 ＝（ n个3 A． 2m 3n ） B． 2m 3n C． 2m 3n D． 2m n3 【答案】B 【分析】 分子部分利用乘方运算，分母部分利用乘法运算即可 【详解】 m个 2 2m 2  2 L  2 解： 3  3  L  3 ＝ ， 3n n个3 故选：B． 【点睛】 本题考查了有理数的乘方和乘法运算，掌握运算的法则是关键. 3．下列运算正确的是（ A．  ( 2) 2  2 2 【答案】D 【分析】 ）  2 2 B． ( 3)      6  3 C． 34  ( 3)4 D． ( 0.1) 2  0.12 分别计算出各选项的结果，即可判断． 【详解】 A 选项 (2) 2  2 2 ，不正确，故不符合题意； 2 2  B 选项 ( 3)      6 ，不正确，故不符合题意；  3 C 选项 34  (3) 4 ，不正确，故不符合题意； D 选项 ( 0.1) 2  0.12 ，正确，故符合题意， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查有理数的乘方以及有理数的乘法运算，属于基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．下列各式中，计算正确的是( ) A． ( 5.8)  ( 5.8)  11.6 1 2 B． 4   4  16 4 C． 23  ( 3)2  72 D． [(5)2  4  (5)]  (3)2  45 【答案】D 【分析】 根据有理数的混合运算法则逐个选项计算，即可解决问题. 【详解】 A. ( 5.8)  ( 5.8)  5.8  5.8  0 ，故 A 选项错误； 1 2 B. 4   4  16  4  4  256，故 B 选项错误； 4 C. 23  (3)2  8  9  72 ，故 C 选项错误； D. [(5)2  4  (5)]  (3)2  (25  20)  9  45 ，故 D 选项正确； 故选 D 【点睛】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题关键. 5．下列各组数中：① 52 ， (5)2 ，② (3)3 ， 33 ，③  ( 0.3)5 ， 0.35 ，④ 0100 ， 0 200 ，⑤  1 ，   1 中， 3 相等的共有（ A．1 ）对． B．2 C．4 D．5 2 【答案】C 【分析】 首先计算出各组数的值，然后作出判断即可． 【详解】 ① 52 =-25， (5)2 =25，故不符合题意； ② (3)3 =-27， 33 =-27，故符合题意； ③  ( 0.3)5 =0.00243， 0.35 =0.00243，故符合题意； ④ 0100 =0， 0 200 =0，故符合题意； ⑤  1 =-1，   1 =-1，故符合题意， 3 2 所以相等的共有 4 对， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查有理数乘方的运算，熟记正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是 正数是解题关键． 6．计算(－3)3＋52－(－2)2=（ ） A．2 B．5 C．－3 【答案】D 【详解】 分析：根据有理数的乘方运算顺序，先算乘方，再算加减． 解答：解： （-3）3+52-（-2）2=-27+25-4=-6，故选 D． 7．下列说法正确的是( ) A．－23 的底数是－2 3 2 3 B． ( ) 的底数是  4 4 C．－62 的底数是 6 D．(－3)2 的底数是 3 【答案】C 【解析】 试题解析：A. －23 的底数是 2，故该选项错误； D．－6 2 3 3 B.    的底数是 ，故该选项错误； 4 4 C. －62 的底数是 6，正确； D. (－3)2 的底数是-3，故该选项错误. 故选 C. 8．某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次，每次由一个分裂为两个．若这种细菌由 1 个分裂到 64 个， 这个过程要经过（ A． 12 小时 ） B． 6 小时 C． 3 小时 D． 2.5 小时 【答案】C 【分析】 每半小时分裂一次，一个变为 2 个，实际是 21 个，分製第二次时，2 个就变为了 22 个，那么经过 3 小时， 就要分製 6 次，根据有理数的乘方的定义可得. 【详解】 解:由题意可得:2n＝64＝26， 则这个过程要经过:3 小时. 故选:C. 【点睛】 本题考查了有理数的乘方在实际生活中的应用，应注意观察问题得到规律. 二、填空题 2 9．计算： 3  6  ________． 【答案】-3 【分析】 先计算乘方、绝对值，再计算加法即可得． 【详解】 解：原式  9  6  3 ， 故答案为： 3 ． 【点评】 本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘方的定义和绝对值的性质． 10．求______________数的_______的运算，叫乘方；乘方的结果叫做_______；在式子 a n 中，a 叫做_______， n 叫做________．一个数可以看作这个数本身的_______次方． 【答案】几个相同因 积 幂 底数 指数 1 【分析】 根据有理数乘方相关概念，即可求解． 【详解】 解：求几个相同因数的积的运算，叫乘方；乘方的结果叫做幂；在式子 a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数．一 个数可以看作这个数本身的 1 次方． 故答案为：几个相同因、积、幂、底数、指数、1 【点睛】 此题考查了有理数乘方的相关概念，熟练掌握有理数乘方的有关概念是解题的关键． 1 1 1 1 1 11．算式 (  )  (  )  (  )  (  )  (  ) 用幂的形式可表示为________，其值为________． 2 2 2 2 2 1 5 【答案】 (  ) 2  1 32 【解析】 5 1  1  1  1  1  1  1 试题解析：算式                    用幂的形式可表示为    ，其值为  ． 32  2  2  2  2  2  2 12．在 0，﹣（﹣1），（﹣3）2，﹣32，﹣|﹣3|，﹣ 32 ，a2 中，正数的个数为_____个． 4 【答案】2 【分析】 将各数化简或计算结合实数的相关概念可得出答案. 【详解】 解：0 既不是正数，也不是负数， ﹣（﹣1）＝1， （﹣3）2＝9，这两个数是正数， ﹣32=-9，﹣|﹣3|=-3，  32 9   ，这三个数是负数， 4 4 a2 是非负数， 则共有 2 个正数， 故答案为 2． 【点睛】 本题考查了实数，也考查了幂的运算，是基础题. 3  1 13．计算： 7 2  2  ( 1) 4  ( 6)     结果为_____．  2 【答案】1 【分析】 第一步，先计算平方、立方；第二步，再计算乘除；第三步，计算加减. 【详解】 1 原式= 49  2  1  6  (  ) 8  49  2  6  ( 8)  49  2  48 1 【点睛】 本题难度较低，主要考查学生对实数的多次方知识点的掌握，切记负数的偶次方是正数，负数的奇次方是 负数是解题关键。 三、解答题 14．计算： 2   3   4   3   15 ． 2 【答案】 15 【分析】 根据有理数的运算法则，先乘方，再乘除后加减，运算即可． 【详解】 解:原式= 18  12  15 = 15 ． 【点睛】 此题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，即可解题． 4 1 3 15．计算：  2  ÷  （  ） 2 -（ 24 ）÷ 6 3 3 【答案】 10 3 【分析】 含乘方的有理数的混合运算，注意先计算乘方，然后计算乘除，最后加减． 【详解】 4 1 3 解：  2  ÷  （  ） 2 -（ 24 ）÷ 6 3 3 3 1  8    4 4 9 2  4 3  10 ． 3 【点睛】 本题考查了有理数的混合运算，掌握运算顺序及计算法则正确计算是解题关键． 16．已知 x  y  y  x, 且 x  3, y  4 ，试求 ( x  y )3 的值 【答案】1 或 343 【详解】 ∵ x  3, y  4 ， ∴ x  3, y  4 ， ∵ x y  y  x， ∴x y  0， ∴x=±3， y  4 ， 当 x=3， y  4 时，  x  y   7 3  343 ， 3 当 x=－3， y  4 时，  x  y    1  1 . 3 3 17．已知 a、b 为有理数，且|a＋2|＋(b－3)2＝0，求 ab＋a(3－b)的值． 【答案】-8 【解析】 试题分析：利用非负数的性质求出 a 与 b 的值，代入原式计算求出值． 试题解析：∵|a＋2|＋(b－3)2＝