第5讲 1. 2. 3. 4. 有理数的乘方 理解有理数乘方的意义且能进行正确的乘方运算； 能够使用科学记数法表示一个数； 了解近似数的概念并能够根据要求进行四舍五入； 能够按照运算顺序熟练地进行有理数的混合运算. 知识点 01 乘方的概念及性质 1.乘方的概念 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 2 2 2 （1）a 是重要的非负数，即 a ≥0；若 a +|b|=0 a=0,b=0； （2）据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位 2.乘方的性质 n n n n （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数；注意：当 n 为正奇数时: (-a) =-a 或(a -b) =-(b-a) , 当 n n n n n 为正偶数时: (-a) =a 或 (a-b) =(b-a) . （2）正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。 1．计算﹣23 的正确结果是（ A．﹣8 ） B．8 C．﹣6 D．6 C．﹣12＝1 D．﹣13＝1 【解答】解：﹣23＝﹣2×2×2＝﹣8． 故选：A． 2．下列计算正确的是（ A．（﹣1）2＝﹣1 ） B．（﹣1）3＝﹣1 【解答】解：A、（﹣1）2＝1，故 A 不符合题意； B、（﹣1）3＝﹣1，故 B 符合题意； C、﹣12＝﹣1，故 C 不符合题意； D、﹣13＝﹣1，故 D 不符合题意． 故选：B． 3．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ A．23 和 32 B．﹣33 和（﹣3）3 【解答】解：A．23＝8，32＝9， ） C．﹣22 和（﹣2）2 D．﹣|﹣2|和|﹣2| ∴23≠32，故此选项不符合题意； B．﹣33＝﹣27，（﹣3）3＝﹣27， ∴﹣33＝（﹣3）3，故此选项符合题意； C．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4， ∴﹣22≠（﹣2）2，故此选项不符合题意； D．﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣2|＝2， ∴﹣|﹣2|≠|﹣2|，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．对于（﹣2）3，指数是 是 4 ，幂是 ﹣16 3 ，底数是 ﹣2 ，（﹣2）3＝ ﹣8 ；对于﹣42，指数是 2 ，底数 ． 【解答】解：根据乘方的定义，得（﹣2）3 的底数是﹣2，指数是 3，（﹣2）3＝﹣2×（﹣2）×（﹣2） ＝﹣8． 同理，﹣42 的底数是 4，指数是 2，幂是﹣16． 故答案为：3，﹣2，﹣8，2，4，﹣16． 5．计算：﹣（﹣1）4＝ ﹣1 ． 【解答】解：﹣（﹣1）4＝﹣1． 故答案为：﹣1． 6．计算： ＝ ． 【解答】解：原式＝﹣（﹣ 故答案为： ）＝ ， ． 7．（1）计算下面两组算式： ①（3×5）2 与 32×52； ②[（﹣2）×3]2 与（﹣2）2×32； （2）根据以上计算结果猜想：（ab）3 等于什么？（直接写出结果） （3）猜想与验证：当 n 为正整数时， （ab）n 等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求（﹣4）2020×0.252021 的值． 【解答】解：（1）计算下面两组算式： ①（3×5）2＝225；32×52＝9×25＝225． ②[（﹣2）×3]2＝36； （﹣2）2×32＝4×9＝36． （2）根据（1）计算结果猜想：（ab）3＝a3b3． （3）当 n 为正整数时， （ab）n＝anbn． 理由：当 n 为正整数时． （ab）n ＝ ＝ ＝anbn． • 即：当 n 为正整数时，（ab）n＝anbn． （4） （﹣4）2020×0.252021＝（﹣4）2020×0.252020×0.25＝（﹣4×0.25）2020×0.25＝0.25． 知识点 02 科学记数法 n 把一个大于 10 的数表示成 a  10 的形式（其中 1  a  10 ， n 是正整数） ，这种记数法是科学记数法 8．国家卫健委通报：截至 2021 年 6 月 19 日，31 个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接 种新冠病毒疫苗 101000 万余剂次，建立免疫屏障，我们一起努力！将 101000 用科学记数法表示为（ A．101×103 B．1.01×105 C．101×107 ） D．1.01×109 【解答】解：101000＝1.01×105， 故选：B． 9．受新冠病毒疫情的影响，截止到 2020 年 4 月 3 日，美国有 10000000 人失业，10000000 用科学记数法表 示为（ ） A．1×103 B．1×107 C．1×108 D．1×105 【解答】解：10000000＝1×107． 故选：B． 10．经过 4.6 亿公里的飞行，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于 2021 年 5 月 15 日在火星表面成 功着陆，火星上首次留下了中国的印迹．将 4.6 亿用科学记数法表示为（ A．4.6×109 B．0.46×109 C．46×108 ） D．4.6×108 【解答】解：4.6 亿＝460000000＝4.6×108． 故选：D． 11．根据国家统计局公布的粮食生产数据显示，2021 年第一季度全国粮食总产量比 2020 年同期增加了 2830000 吨，则数据 2830000 用科学记数法可表示为 【解答】解：2830000＝2.83×106， 故答案为：2.83×106． 2.83×106 ． 12．人民网哈尔滨 1 月 10 日电，1 月 10 日在黑龙江省政府新闻办举办的“重振雄风再出发﹣﹣龙江这一年” 系列主题新闻发布会上表示，全省实现旅游收入 2683.8 亿元，将 2683.8 亿用科学记数法表示为 2.6838 ×1011 ． 【解答】解：2683.8 亿＝268380000000＝2.6838×1011， 故答案为：2.6838×1011． 13．已知 10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105． （1）猜想 106×104＝ 1010 ，10m×10n＝ 10m+n ． （m，n 均为正整数） （2）运用上述猜想计算下列式子： ①（1.5×104）×（1.2×105） ； ②（﹣6.4×103）×（2×106） ． 【解答】解：（1）106×104＝1010，10m×10n＝10m+n； 故答案为：1010；10m+n； （2）①（1.5×104）×（1.2×105）＝（1.5×1.2）×（104×105）＝1.8×109； ②（﹣6.4×103）×（2×106）＝（﹣6.4×2）×（103×106）＝﹣12.8×109＝﹣1.28×1010． 知识点 03 近似数 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 14．将数 1.4960 用四舍五入法取近似数，若精确到百分位，则得到的近似数是（ A．1.49 B．1.50 C．1.496 ） D．1.4 【解答】解：1.4960≈1.50（精确到百分位）， 故选：B． 15．在学习强国平台中，5 月 16 日发布的“第一观察﹣﹣天问落火”栏目的阅读量截止到 5 月 17 日中午， 就已经达到了 10895538 人次，将 10895538 精确到万，得（ A．1089 B．1090 C．1089 万 ） D．1090 万 【解答】解：10895538≈1090 万， 故选：D． 16．用四舍五入法按要求对 1.8040 分别取近似值，其中错误的是（ ） A．1.8（精确到 0.1） B．1.80（精确到 0.01） C．1.80（精确到千分位） D．2（精确到个位） 【解答】解：A、1.8040≈1.8（精确到 0.1），所以 A 选项的计算正确； B、1.8040≈1.80（精确到 0.01） ，所以 B 选项的计算正确； C、1.8040≈1.804（精确到千分位），所以 C 选项的计算错误； D、1.8040≈2（精确到个位），所以 D 选项的计算正确． 故选：C． 17．用四舍五入法将 0.0375 精确到 0.01 是 0.04 ． 【解答】解：将 0.0375 精确到 0.01 是 0.04． 故答案为 0.04． 18．用四舍五入法按要求取近似值：0.06039≈ 0.060 ．（精确到千分位） 【解答】解：0.06039≈0.060（精确到千分位） ， 故答案是：0.060． 19．下列各数精确到什么位？请分别指出来． （1）0.016；（2）1680；（3）1.20；（4）2.49 万． 【解答】解：（1）0.016 精确到千分位； （2）1680 精确到个位； （3）1.20 精确到百分位； （4）2.49 万精确到百位． 20．用激光技术测得地球和月球之间的距离为 377985654.32 米，请按要求分别取得这个数的近似值，并分 别写出相应的有效数字． （1）精确到千位； （2）精确到千万位；（3）精确到亿位． 【解答】解： （1）精确到千位；377985654.32 米≈377986000 米，即 3.77986×108 米，有效数字分别是 3， 7，7，9，8，6． （2）精确到千万位；377985654.32 米≈380000000 米，即 3.8×108 米，有效数字分别是 3，8． （3）精确到亿位；377985654.32 米≈400000000 米，即 4×108 米．有效数字分别是 4． 知识点 04 有理数的混合运算 先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则. 21．计算： （﹣3）3×（ A． ）的结果为（ B．2 C． 【解答】解：（﹣3）3×（ ＝（﹣27）×（ ） D．10 ） ） ＝（﹣27）× ﹣（﹣27）× +（﹣27）× ＝（﹣9）+15+（﹣4） ＝2， 故选：B． 22．定义 a※b＝a2÷（b﹣1），例如 3※5＝32÷（5﹣1）＝9÷4＝ ，则（﹣3）※4 的结果为（ A．﹣3 B．3 C． D． 【解答】解：∵a※b＝a2÷（b﹣1）， ∴（﹣3）※4 ＝（﹣3）2÷（4﹣1） ＝9÷3 ＝3， 故选：B． 23．计算：﹣（﹣3）2× +|2﹣4|＝ ﹣1 ． 【解答】解：﹣（﹣3）2× +|2﹣4| ＝﹣9× +2 ＝﹣3+2 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 24．如果 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，那么 【解答】解：∵a、b 互为相反数，c、d 互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， ＝ 7 ． ） ∴ ＝ ＝ ＝