第4讲 1.4.1 有理数乘法 1. 熟练掌握有理数乘法法则； 2. 理解并掌握互为倒数的概念； 3. 灵活运用运算律进行相关乘法运算. 知识点 有理数乘法 1.有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零； 2.(1)若 同号,则 ; (2)若 异号,则 ; 3.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定. (1)当负因数有奇数个时，积为负；(2)当负因数有偶数个时，积为正。 4.几个数相乘,如果其中有因数为 0，积等于 0。 5.有理数乘法的求解步骤: (1)先确定积的符号 ; (2)再确定积的绝对值; 6.乘积是 1 的两个数互为倒数。注：(倒数同正同负) 7. 时， 的倒数是 ) 8.注意:用字母表示乘数时,“ ”号可以写成“·”或省略, 如 9.有理数乘法的运算律 (1)乘法的交换律： (2)乘法的结合律： ； ) (3)乘法的分配律： 10.根据乘法交换律和结合律可以推出： ； ; 可以写成 或 . 三个以上有理数相乘,可以任意交换因数的位置,也可先把其中的几个数相乘 11.根据分配律可以推出： 一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相 加. 一、选择题 1.2021 的倒数是（ A. ） 2021 B. －2021 C. D. 【答案】 C 【解析】【解答】A：倒数是本身的数是 1 和-1，选项错误. B：－2021 是 2021 的相反数，选项错误. C： ，选项正确. D： ，选项错误. 故答案为：C 【分析】乘积是 1 的两个数叫做互为倒数，据此判断即可. 2.计算：（-2）×3 的结果是（ A. -6 ） B. -1 C. 1 D. 6 【答案】 A 【解析】【解答】解：（-2）×3=-2×3=-6． 故答案为：A． 【分析】根据有理数乘法法则，异号相乘，取负号，并把绝对值相乘。 3.下列运算有错误的是（ A. 5﹣（﹣2）=7 ） B. ﹣9×（﹣3）=27 【答案】 C 【解析】【解答】解： 选项 A 不符合题意； ， C. ﹣5+（+3）=8 D. ﹣4×（﹣5）=20 ， 选项 B 不符合题意； ， 选项 C 符合题意； ， 选项 D 不符合题意。 故答案为：C. 【分析】A、减去一个数等于加上这个数的相反数，故 5﹣（﹣2）=7 ，正确，不符合题意； B、两数相乘，同号得正，异号得出，并把绝对值相乘，故 ﹣9×（﹣3）=27 ，正确，不符合题意； C、异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并把绝对值相加，故 ﹣5+（+3）=-2 ，不正确，符合题 意； D、两数相乘，同号得正，异号得出，并把绝对值相乘，故 ﹣4×（﹣5）=20 ，正确，不符合题意。 4.若 a＜c＜0＜b，则下列各式正确的是（ A. abc＜0 ） B. abc=0 C. abc＞0 D. 无法确定 【答案】 C 【解析】【解答】∵a＜c＜0＜b ， ∴ac＞0（同号两数相乘得正），∴abc＞0 （不等式两边乘以同一个正 数，不等号的方向不变） ． 故选 C． 【分析】根据两数相乘，同号得正，由 a＜c＜0，得出 ac＞0，然后根据不等式两边乘以同一个正数，不等 号的方向不变，由 0＜b 得出 abc＞0。 5.50 个有理数相乘的积为 0，那么（ A. 每一个因数都是 0 ） B. 每一个因数都不为 0 C. 最多有一个因数不为 0 D. 至少有一个因数为 0 【答案】 D 【解析】【解答】50 个有理数的积为 0，则其中必有 0 因数，但 0 因数的个数不能确定，所以选 D． 【分析】几个数相乘，如果其中有一个 0 因数积就为 0． 6.下列说法中，不正确的是（ A. 零是绝对值最小的数 C. 相反数等于本身的数只有 0 ） B. 倒数等于本身的数只有 1 D. 原点左边的数离原点越远就越小 【答案】 B 【解析】【解答】解：由于任何数的绝对值都是非负数，所以 0 是绝对值最小的数，故选项 A 正确；±1 的 倒数都等于它本身，故选项 B 错误；相反数等于它本身的数只有 0，故选项 C 正确；在原点左边，离原点 越远数就越小，故选项 D 正确． 故选 B． 【分析】根据绝对值、倒数、相反数的意义判断每个选项． 7.若 a+b＜0，ab＜0，则（ ） A. a＞0，b＞0 B. a＜0，b＜0 C. a，b 两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D. a，b 两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值 【答案】 D 【解析】【解答】解：∵ab＜0， ∴a、b 异号， 又∵a+b＜0， ∴负数的绝对值大于正数的绝对值． 故选 D． 【分析】先根据 ab＜0，结合乘法法则，易知 a、b 异号，而 a+b＜0，根据加法法则可知负数的绝对值大于 正数的绝对值，解可确定答案． 8.实数 ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ A. B. 【答案】 A 【解析】【解答】解：∵-4＜a＜-3，-1<b<0，2<c<3， ∴c-b＞0，故 A 正确； ，故 B 错误； ac＜0，故 C 错误； C. ） D. ∴a+c＜0，故 D 错误； 故答案为：A. 【分析】根据数轴上点表示的数，可得-4＜a＜-3，-1＜b＜0，2＜c＜3，再逐一判断选项，即可得到答案. 二、填空题 9.﹣3 的倒数为________． 【答案】 【解析】 【解答】解：根据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用 1 除以这个数．所 以 的倒数为 ． 【分析】利用倒数的定义求解即可。 10.计算（﹣1）×（﹣2）的结果是________。 【答案】 2 【解析】【解答】解：原式=1×2=2。 故答案为：2 【分析】根据同号两数相乘法则即可解答。 11.从数-5，1，-3，5，-2 中任取三个不同的数相乘，最大的乘积是________，最小的乘积是________． 【答案】 75；-30 【解析】【解答】最大乘积是：（-3）×（-5）×5=75， 最小乘积是：（-2）×（-3）×（-2）=-30， 故答案为:75，-30. 【分析】根据有理数的乘法运算法则计算，再比较大小即可。 12.若 ab＜0，则 =________． 【答案】 0 【解析】【解答】解：∵ab＜0，则 a，b 异号， ∴ =0． 故答案为：0． 【分析】根据题意得出 a，b 异号，进而得出答案． 三、解答题 13.计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . =（50- 【答案】 （1）解： ）×（-5）=50×（-5）=-（8× （2）解： ×（-5）=-249 ）=-60 =0 （3）解： =- （4）解： =-（0.25×4）× 【解析】 【分析】 （1）由题意可将原式变为原式= ， 再用乘法对加法的分配律即可求解； （2）多个有理数的乘法的符号法则是：偶数个负因数积为正，奇数个负因数积为负，根据符号法则可先判 断积的符号，再把绝对值相乘即可求解； （3）根据有一个数是 0 的多个有理数相乘的法则可得原式=0； （4）根据多个有理数的乘法的符号法则先判断积的符号，再把绝对值相乘即可求解。 14.若 ， ，且 ，求 的值． 【答案】 解：因为|a| =1，|b|=4，所以 a=±1，b=±4，又因为 ab＜0，所以 a，b 的值可能为 a=1，b=—4 则 a+b=—3；a=—1，b=4 则 a+b=3，所以 a+b=±3 【解析】 【解答】因为|a| =1，|b|=4，所以 a=±1，b=±4，又因为 ab＜0，所以 a，b 的值可能为 a=1，b=—4 则 a+b=—3；a=—1，b=4 则 a+b=3，所以 a+b=±3 【分析】对于符合条件的结果必须全部写出来不少不漏． 15.分别用 ， 有理数， 是数轴上到原点距离为 ， 【答案】 解：由题意得 当 当 时， 时， ， 表示有理数， ， 是最大的负整数， 的点表示的数，求 ， = 是最小的正整数， ， 的倒数. ， =4，倒数为 = ； ，倒数为 是绝对值最小的 【解析】【分析】因为最小的正整数是 1，所以 a=1；最大的负整数是-1，所以 b=-1；0 时绝对值最小的数， 所以 c=0；数轴上 到原点距离为 的点有 3；然后把 a、b、c、d 的值代入 4a+3b+2c+d 计算即可求解。 16.已知 x、y 互为相反数，a、b 互为倒数，m 是最大的负整数，求（x＋y）﹣abm 的值. 【答案】 解：∵x、y 互为相反数，a、b 互为倒数，m 是最大的负整数， ∴x+y=0，ab=1，m=-1 ∴（x＋y）﹣abm=0-1×（-1）=1. 【解析】 【分析】根据相反数的两个数的和为 0 得出 x+y=0，根据互为倒数的两个数的乘积等于 1 得出 ab=1， 根据最大的负整数是-1 得出 m=-1，从而代入计算. 17.学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：49 ×（﹣5），看谁算的又快又对，有两位 同学的解法如下： ×5=﹣ 小明：原式=﹣ 小军：原式=（49+ =﹣249 ； ）×（﹣5）=49×（﹣5）+ ×（﹣5）=﹣249 ； （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ （2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； （3）用你认为最合适的方法计算：19 【答案】 （1）解：小军解法较好 （2）解：还有更好的解法， 49 ×（﹣5） =（50﹣ ）×（﹣5） =50×（﹣5）﹣ ×（﹣5） =﹣250+ =﹣249 （3）解：19 =（20﹣ ×（﹣8） ）×（﹣8） =20×（﹣8）﹣ ×（﹣8） ×（﹣8） =﹣160+ =﹣159 【解析】【分析】（1）由凑整法可知小军解法较好； （2）由凑整法可得原式=（50- ）×（-5） ，然后用乘法分配律计算即可求解； （3）由凑整法可得原式=（20- ）×（-8） ，然后用乘法分配律计算即可求解. 一、单选题 1.（﹣2）×2 的结果是（ ） A. 4 B. ﹣4 C. 0 D. 1 【答案】 B 【解析】【解答】解：（﹣2）×2=-4． 故答案为：B． 【分析】直接运用有理数乘法法则计算即可． 2. 的倒数是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】 A 【解析】【解答】解：∵（-5）×（∴-5 的倒数是- ）=1， ． 故答案为：A． 【分析】根据乘积为 1 的两个数叫做互为倒