第3讲 1. 2. 3. 4. 有理数的加减法 掌握有理数的加法法则及运算律； 掌握有理数的加法法则； 理解有理数加减法统一成加法的意义； 掌握有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧。 知识点 01 有理数的加法 1.有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与 0 相加，仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b=b+a ⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法” ； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法” ； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法” ； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法” 。 3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加 0 后的和等于原数。即： ⑴当 b>0 时，a+b>a ⑵当 b<0 时，a+b<a ⑶当 b=0 时，a+b=a 1．下列各数中，比﹣2 大 5 的数是（ A．﹣7 ） B．﹣3 C．3 D．7 C．非负数 D．0 【解答】解：﹣2+5＝3， 故选：C． 2．两个负数相加，其和一定是（ A．正数 B．负数 ） 【解答】解：根据有理数的加法法则，两个负数相加，和取它们相同的符号，取负号，所以和为负数． 故选：B． 3．计算﹣2+8 的结果是（ A．﹣6 ） B．6 C．﹣10 D．10 C．5 D．﹣5 【解答】解：﹣2+8＝+（8﹣2）＝6． 故选：B． 4．计算|﹣3|+（﹣2）的最后结果是（ A．1 ） B．﹣1 【解答】解：|﹣3|+（﹣2） ＝3﹣2 ＝1． 故选：A． 5．在有理数 2，0，﹣1，﹣3 中，任意取两个数相加，和最小是（ A．2 B．﹣1 C．﹣3 ） D．﹣4 【解答】解：（﹣1）+（﹣3）＝﹣4． 故选：D． 6．运用加法的运算律计算（+6 ）+（﹣18）+（+4 ）+（﹣6.8）+18+（﹣3.2）最适当的是（ ） A．[（+6 ）+（+4 ）+18]+[（﹣18）+（﹣6.8）+（﹣3.2）] B．[（+6 ）+（﹣6.8）+（+4 ）]+[（﹣18）+18+（﹣3.2）] C．[（+6 ）+（﹣18）]+[（+4 ）+（﹣6.8）]+[18+（﹣3.2）] D．[（+6 ）+（+4 ）]+[（﹣18）+18]+[（﹣3.2）+（﹣6.8）] 【解答】解：（+6 ）+（﹣18）+（+4 ）+（﹣6.8）+18+（﹣3.2）＝[（+6 ）+（+4 ）]+[（﹣18） +18]+[（﹣3.2）+（﹣6.8）]； 故选：D． 7．小王家的冰箱冷冻室现在的温度是﹣8℃，调高 2℃的温度是 【解答】解：∵小王家的冰箱冷冻室现在的温度是﹣8℃， ∴调高 2℃的温度是：﹣8+2＝﹣6（℃）． 故答案为：﹣6． 8．计算： （1）12+（﹣4）＝ 8 ； ﹣6 ℃． （2） （﹣ ）+（﹣ ）＝ ﹣ ． 【解答】解：（1）12+（﹣4） ＝12﹣4 ＝8， 故答案为：8； （2） ）（﹣ ）+（﹣ ） ＝ ﹣ ＝ ＝ ， 故答案为： ． 9．若|a|＝3，|b|＝4，且 a＞b，则 a+b＝ ﹣1 或﹣7 ． 【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝4， ∴a＝±3，b＝±4， 又∵a＞b， ∴a＝3，b＝﹣4 或 a＝﹣3，b＝﹣4， 当 a＝3，b＝﹣4 时，a+b＝3+（﹣4）＝﹣1， 当 a＝﹣3，b＝﹣4 时，a+b＝（﹣3）+（﹣4）＝﹣7， 因此 a+b 的值为：﹣1 或﹣7． 故答案为：﹣1 或﹣7． 10．在横线上填写每步运算的依据． 解：（﹣6）+（﹣15）+（+6） ＝（﹣6）+（+6）+（﹣15）（ ＝[（﹣6）+（+6）]+（﹣15） （ ＝0+（﹣15）（ ＝﹣15（ 加法交换律 ） 加法结合律 互为相反数的两个数相加得零 一个数与零相加仍得这个数 ） 【解答】解：（﹣6）+（﹣15）+（+6） ＝（﹣6）+（+6）+（﹣15）（加法交换律） ＝[（﹣6）+（+6）]+（﹣15） （加法交结合律） ） ） ＝0+（﹣15）（互为相反数的两个数相加得零） ＝﹣15（一个数与零相加仍得这个数） 故答案为：加法交换律；加法结合律；互为相反数的两个数相加得零；一个数与零相加仍得这个数 11．计算：18+（﹣17）+7+（﹣8）． 【解答】解：18+（﹣17）+7+（﹣8） ＝1+7+（﹣8） ＝8+（﹣8） ＝0． 12．（1）（﹣52）+24+（﹣74）+12； （2） （+ ）+（﹣ ）+（+ ）+（﹣ ） ． 【解答】解：（1）原式＝（﹣52+12）+（24﹣74） ＝（﹣40）+（﹣50） ＝﹣90； （2）原式＝（ ﹣ ）+（﹣ + ） ＝﹣ + ＝﹣ \ ． 知识点 02 有理数的减法 1.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 2.有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负 8、负 7、负 6、正 5 的和” ②按运算意义读作“负 8 减 7 减 6 加 5” 3.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法） Ⅱ.把和为整数的加数相结合 （凑整法） Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） Ⅵ.分组结合 Ⅶ.先拆项后结合 13．比﹣3 小 2 的数是（ A．﹣5 ） B．﹣1 C．1 D．5 C．5 D．﹣5 【解答】解：﹣3﹣2 ＝﹣3+（﹣2） ＝﹣5． 故选：A． 14．计算|﹣3|﹣（﹣2）的最后结果是（ A．1 ） B．﹣1 【解答】解：|﹣3|﹣（﹣2）＝3+2＝5． 故选：C． 15．我市 2021 年的最高气温为 33℃，最低气温为零下 27℃，则计算 2021 年温差列式正确的是（ A．（+33）﹣（﹣27） B．（+33）+（+27） C．（+33）+（﹣27） D．（+33）﹣（+27） 【解答】解：把 0℃以上记作正数，把 0℃以下记作负数， 则：最高温度为+33℃，最低温度为﹣27℃， ∴温差＝（+33）﹣（﹣27）， 故选：A． 16．计算： （﹣14 ）﹣（﹣10 ）+ ＝（ A．﹣8 B．﹣7 ） C．﹣4 D．﹣3 【解答】解：（﹣14 ）﹣（﹣10 ）+ ＝﹣4 + ＝﹣4 故选：C． 17．在﹣1，1，﹣2 三数中取两数相减，结果不可能的是（ A．0 B．1 【解答】解：﹣1﹣1＝﹣2； ﹣1﹣（﹣2）＝1； C．2 ） D．3 ） 1﹣（﹣2）＝3； 1﹣（﹣1）＝2； ﹣2﹣（﹣1）＝﹣1； ﹣2﹣1＝﹣3； 所以在﹣1，1，﹣2 三数中取两数相减，结果不可能的是 0． 故选：A． 18．将式子（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）省略括号和加号后变形正确的是（ A．20﹣3+5﹣7 B．﹣20﹣3+5+7 C．﹣20+3+5﹣7 ） D．﹣20﹣3+5﹣7 【解答】解：（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）＝﹣20+3+5﹣7． 故选：C． 19．计算：﹣3﹣（﹣2）+5＝ 4 ． 【解答】解：﹣3﹣（﹣2）+5＝﹣3+2+5＝4； 故答案为：4． 20．如果 A、B 两地的高度分别为海拔 70 米、海拔﹣210 米，那么 A 地比 B 地高 【解答】解：根据题意得：70﹣（﹣210）＝70+210＝280， 则 A 地比 B 地高 280 米， 故答案为：280． 21．已知 a＜b，且|a|＝6，|b|＝3，则 a﹣b 的值为 ﹣9 或﹣3 【解答】解：∵|a|＝6，|b|＝3， ∴a＝±6，b＝±3， ∵a＜b， ∴a＝﹣6，b＝±3， ∴a﹣b＝﹣6﹣3＝﹣9 或 a﹣b＝﹣6﹣（﹣3）＝﹣3． 故答案为：﹣9 或﹣3． 22．计算： （1）75﹣（﹣17）﹣37﹣（﹣25）； （2）6﹣（3﹣5）﹣|+8|． 【解答】解：（1）原式＝75+17﹣37+25 ＝75+17+25﹣37 ＝（75+25）+（17﹣37） ． 280 米． ＝100﹣20 ＝80； （2）原式＝6﹣（﹣2）﹣8 ＝6+2﹣8 ＝0． 23．计算： （﹣0.25）﹣2 ﹣0.125． 【解答】解：原式＝（﹣0.25）+（﹣2 ）+1.25+（﹣ ） ＝[（﹣0.25）+1.25]+[（﹣2 ）+（﹣ ）] ＝1+（﹣2 ） ＝1+（﹣2.5） ＝﹣1.5． 24．计算： （﹣7.3）﹣（﹣6 ）+|﹣3.3|+1 ． 【解答】解：原式＝（﹣7.3）﹣（﹣6 ）+3.3+1 ＝[（﹣7.3）+3.3]+[6 +1 ]＝﹣4+8＝4． 25．“疫情无情人有情”．在抗击新冠病毒疫情期间，一志愿小组某天早晨从 A 地出发沿南北方向运送抗疫 物资，晚上最后到达 B 地．约定向北为正方向，当天志愿小组行驶记录如下（单位：千米）：+18，﹣9， +7，﹣14，﹣6，+13，﹣6，﹣8，﹣27． （1）试问 B 地在 A 地的哪个方向，它们相距多少千米？ （2）若汽车行驶每千米耗油 0.07 升，则志愿小组该天共耗油多少升？ 【解答】解：（1）+18﹣9+7﹣14﹣6+13﹣6﹣8﹣27 ＝18+7+13﹣9﹣14﹣6﹣6﹣8﹣27 ＝38﹣70 ＝﹣32， ∴B 地在 A 地的南方，它们相距 32 千米． （2） （|+18|+|﹣9|+|+7|+|﹣14|+|﹣6|+|+13|+|﹣6|+|﹣8|+|﹣27|）×0.07 ＝（18+9+7+14+6+13+6+8+27）×0.07 ＝108×0.07 ＝7.56（升）， ∴汽车行驶每千米耗油 0.07 升，则志愿小组该天共耗油 7.56 升． 一．选择题 1．一天早晨的气温是 4℃，中午上升到 12℃，则这天中午的气温比早晨上升了（ A．12℃ B．8℃ C．﹣16℃ D．16℃ C．0 D．1 ）