第2讲 1. 2. 3. 4. 有理数 掌握有理数的概念及分类； 掌握数轴的概念、三要素、与有理数的关系； 掌握相反数的概念、求法及表示方法； 掌握绝对值的代数定义、几何定义以及其性质。 知识点 01 有理数 1.有理数的定义： ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 2.有理数的分类:  正整数 正有理数 正分数   ①按正、负分类: 有理数 零  负整数 负有理数  负分数   正整数 整数 零   负整数 ②按有理数的意义来分: 有理数   正分数 分数  负分数  3. 总结： ①正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0 统称为非正整数 ③正有理数、0 统称为非负有理数 ④负有理数、0 统称为非正有理数 1．在﹣3.5， ， A．1 2．最大的负整数是（ A．0 3．在数﹣ ，﹣1， ，0.161161116…中，有理数有（ B．2 ）个． C．3 D．4 C．﹣1 D．不存在 ） B．1 ，﹣ ，0 中，负分数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 4．在﹣125%； ；25；0；﹣0.3；0.67；﹣4； A．2 个 B．3 个 D．4 个 中，非负数有（ C．4 个 5．在有理数﹣4.2，6，0，﹣11，﹣ 中，负整数有 ） D．5 个 个． 6．把下列各数填在相应的集合中： 15，﹣ ，0.81，﹣3， ，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π， 正数集合{ ． …}； 负分数集合{ …}； 非负整数集合{ …}； 有理数集合{ …}． 知识点 02 数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； ⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的 点表示，0 用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴 上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数） 3.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数； ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 7．数轴上表示数 5 的点和原点的距离是（ A． B．5 8．下列数轴表示正确的是（ ） C．﹣5 D．﹣ ） A． B． C． D． 9．数轴上，把表示 2 的点向左平移 3 个单位长度得到的点所表示的数是（ ） A．﹣5 B．﹣1 C．1 10．数轴上表示 3 的点和表示﹣1 的点的距离是 11．在数轴上离开原点的距离为 6 个单位的数是 D．5 个单位长度． ． 12．画一条数轴，并在数轴上标出下列各数． ﹣3，2 ，﹣1.5，0，+3.5，4 知识点 03 相反数 ⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0 的相反数是 0。 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是 0。 2.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0 的相反数是 0； ⑶互为相反数的两数和为 0，和为 0 的两数互为相反数，即 a，b 互为相反数，则 a+b=0 3.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点 （0 除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0 的相反数对应原点；原点表示 0 的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 4.相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5 的相反数是-5）；0 的相反数还是 0； ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b 的相反数是-（5a+b）。 化简得-5a-b）；注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c；a-b 的相反数是 b-a；a+b 的相反数是-a-b； ⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5 的相反数是-（-5） ，化简得 5)；)相反数的和为 0 a+b=0 a、b 互为相反数 5.相反数的表示方法 ⑴一般地，数 a 的相反数是-a ，其中 a 是任意有理数，可以是正数、负数或 0。 当 a>0 时，-a<0（正数的相反数是负数） 当 a<0 时，-a>0（负数的相反数是正数） 当 a=0 时，-a=0，（0 的相反数是 0） 6.多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略； “-”号的个数决定最后化简结果； 即：“-”的个数是奇数时，结果为负， “-”的个数是偶数时，结果为正。 13．﹣2021 的相反数等于（ ） A．2021 B．﹣2021 14．下列各组数中互为相反数的是（ A．﹣4 和 A．﹣2 D．﹣ C．﹣4 和﹣ D． 和 4 C．﹣4 D．2 ） B．4 和﹣4 15．若 x 与 3 互为相反数，则 x+1 等于（ C． ） B．4 16．如果一个数的相反数大于它本身，则这个数为 17．若 m 是﹣6 的相反数，则 m 的值是 数． ． 18．若 a+12 与﹣8+b 互为相反数，求 a 与 b 的和． 知识点 04 绝对值 ⒈绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0 的绝对值是 0. 可用字母表示为： ①如果 a>0，那么|a|=a； ②如果 a<0，那么|a|=-a； ③如果 a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。 ） 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a|≥0。 即 (1)正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数 轴上表示某数的点离开原点的距离；绝对值是 0 的数是 0.即：a=0 <═> |a|=0； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是 0.绝对值可表示为：或 ； 即：|a|≥0；绝对值的问题经常分类讨论 19．﹣2021 的绝对值是（ A．﹣2021 ） B．2021 C． 20．在 0，1，﹣5，﹣1 四个数中，最小的数是（ A．0 B．1 D．﹣ ） C．﹣5 D．﹣1 21．若|x|＝5，|y|＝2 且 x＜0，y＞0，则 x+y＝（ A．7 B．﹣7 ） C．3 22．当 x＜1 时，化简：|x﹣1|＝ D．﹣3 ． 23．已知﹣3＜y＜2，化简|y﹣2|+|y+3|＝ ． 24．已知|a|＝2，|b|＝3，且 b＜a，试求 2a﹣3b 的值． 一．选择题 1．﹣ 的相反数是（ A． 2．﹣ ） B． 的绝对值是（ A．﹣ C．2021 D．﹣2021 C． D．﹣ ） B． 3．下列说法中，正确的是（ ） A．0 不是有理数 B．只有 0 的绝对值等于它本身 C．有理数可以分为正有理数和负有理数 D．任何有理数都有相反数 4．在 0，1，﹣5，﹣1 四个数中，最小的数是（ A．0 B．1 ） C．﹣5 5．在 ，125%，﹣25，0，﹣0.3，0.67，﹣4， A．2 个 B．3 个 6．下列关于数轴的图示，画法不正确的有（ A．4 个 B．3 个 中，非负数有（ C．4 个 D．﹣1 ） D．5 个 ） C．2 个 D．1 个 7．如图，数轴上点 A 对应的数是 ，将点 A 沿数轴向左移动 3 个单位至点 B，则点 B 对应的数是（ A．﹣ B．﹣2 C．3 8．适合|a+5|+|a﹣3|＝8 的整数 a 的值有（ A．4 个 D． ） B．5 个 C．7 个 D．9 个 二．填空题 9．在﹣8，2020，3 ，0，﹣5，+13， ，﹣6.9 中，正整数有 10．若|﹣1﹣2|＝ 个． ． 11．若 a，b 互为相反数，则 a（a+b）的值为 ． 12．在数轴上，已知点 A 所表示的数为﹣2，则点 A 移动 4 个单位长度后所表示的数是 13．数 a 的位置如图，化简|a|+|a+4|＝ ． 三．解答题 14．把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ﹣11， ，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%． （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）非负整数集合：{ …}； （4）负有理数集合：{ …}． 15．请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数：﹣3， 16．在数轴上表示下列各数，并用“＜”符号将它们连接起来． ，4． ． ） ﹣4，|﹣2.5|，﹣|3|，﹣1 ，﹣（﹣1），0 17．在一条不完整的数轴上从左到右有点 A，B，D，C，其中 AB＝2，BD＝3，DC＝1，如图所示，设点 A， B，D，C 所对应数的和是 p． （1）若以 B 为原点，写出点 A，D，C 所对应的数，并计算 p 的值； （2）若原点 O 在图中数轴上点 C 的右边，且 CO＝1，求 p 的值． 18．有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c （2）化简：|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|． 0，b﹣a 0，c﹣a 0．