第2讲 1. 2. 3. 4. 有理数 掌握有理数的概念及分类； 掌握数轴的概念、三要素、与有理数的关系； 掌握相反数的概念、求法及表示方法； 掌握绝对值的代数定义、几何定义以及其性质。 知识点 01 有理数 1.有理数的定义： ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 2.有理数的分类:  正整数 正有理数 正分数   ①按正、负分类: 有理数 零  负整数 负有理数  负分数   正整数 整数 零   负整数 ②按有理数的意义来分: 有理数   正分数 分数  负分数  3. 总结： ①正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0 统称为非正整数 ③正有理数、0 统称为非负有理数 ④负有理数、0 统称为非正有理数 1．在﹣3.5， A．1 ， ，0.161161116…中，有理数有（ B．2 【解答】解：﹣3.5 是负分数，故是有理数； 是正分数，故为有理数； C．3 ）个． D．4 ，0.161161116…都是无限不循环小数，故不是有理数； ∴有理数有两个， 故选：B． 2．最大的负整数是（ A．0 ） B．1 C．﹣1 D．不存在 【解答】解：负整数是负数且是整数，即最大的负整数是﹣1． 故选：C． 3．在数﹣ ，﹣1， A．1 个 ，﹣ ，0 中，负分数有（ B．2 个 ） C．3 个 D．4 个 【解答】解：﹣ 和﹣ 是负分数， 故选：B． 4．在﹣125%； ；25；0；﹣0.3；0.67；﹣4； A．2 个 B．3 个 中，非负数有（ ） C．4 个 D．5 个 中，非负数有 ，25，0，0.67，共 4 个． 【解答】解：在﹣125%； ；25；0；﹣0.3；0.67；﹣4； 故选：C． 5．在有理数﹣4.2，6，0，﹣11，﹣ 中，负整数有 1 个． 【解答】解：在有理数﹣4.2，6，0，﹣11，﹣ 中，负整数有﹣11 这 1 个， 故答案为：1． 6．把下列各数填在相应的集合中： 15，﹣ ，0.81，﹣3， 正数集合{ 15，0.81， 负分数集合{ 非负整数集合{ 有理数集合{ ，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π， ，171，3.14，π， ﹣ ，﹣3.1 15，171，0 ． …}； …}； …}； 15，﹣ ，0.81，﹣3， 【解答】解：正数集合{15，0.81， ，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14， ，171，3.14，π， …}； …}． 负分数集合{﹣ ，﹣3.1…}； 非负整数集合{15，171，0…}； 有理数集合{15，﹣ ，0.81，﹣3， 故答案为：15，0.81， ，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14， ，171，3.14，π， ﹣3.1，﹣4，171，0，3.14， …}． ；﹣ ，﹣3.1；15，171，0；15，﹣ ，0.81，﹣3， ， ． 知识点 02 数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； ⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的 点表示，0 用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴 上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数） 3.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数； ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 7．数轴上表示数 5 的点和原点的距离是（ A． B．5 ） C．﹣5 D．﹣ 【解答】解：数轴上表示数 5 的点和原点的距离是 5； 故选：B． 8．下列数轴表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：A 选项，应该正数在右边，负数在左边，故该选项错误； B 选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误； C 选项，没有原点，故该选项错误； D 选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确； 故选：D． 9．数轴上，把表示 2 的点向左平移 3 个单位长度得到的点所表示的数是（ A．﹣5 B．﹣1 C．1 ） D．5 【解答】解：由数轴可知： 把表示 2 的点向左平移 3 个单位长度得到的点所表示的数是﹣1． 故 A、C、D 错误， 故选：B． 10．数轴上表示 3 的点和表示﹣1 的点的距离是 4 个单位长度． 【解答】解：由题意可知：3﹣（﹣1）＝4． 故答案为：4． 11．在数轴上离开原点的距离为 6 个单位的数是 ±6 ． 【解答】解：根据绝对值的意义，得： 数轴上到原点的距离是 6 个单位长度的点表示的数，即绝对值是 6 的数是±6． 故答案为：±6． 12．画一条数轴，并在数轴上标出下列各数． ﹣3，2 ，﹣1.5，0，+3.5，4 【解答】解：如图： 知识点 03 相反数 ⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0 的相反数是 0。 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是 0。 2.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0 的相反数是 0； ⑶互为相反数的两数和为 0，和为 0 的两数互为相反数，即 a，b 互为相反数，则 a+b=0 3.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点 （0 除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0 的相反数对应原点；原点表示 0 的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 4.相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5 的相反数是-5）；0 的相反数还是 0； ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b 的相反数是-（5a+b）。 化简得-5a-b）；注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c；a-b 的相反数是 b-a；a+b 的相反数是-a-b； ⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5 的相反数是-（-5） ，化简得 5)；)相反数的和为 0 a+b=0 a、b 互为相反数 5.相反数的表示方法 ⑴一般地，数 a 的相反数是-a ，其中 a 是任意有理数，可以是正数、负数或 0。 当 a>0 时，-a<0（正数的相反数是负数） 当 a<0 时，-a>0（负数的相反数是正数） 当 a=0 时，-a=0，（0 的相反数是 0） 6.多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略； “-”号的个数决定最后化简结果； 即：“-”的个数是奇数时，结果为负， “-”的个数是偶数时，结果为正。 13．﹣2021 的相反数等于（ A．2021 ） B．﹣2021 C． D．﹣ C．﹣4 和﹣ D． 和 4 【解答】解：﹣2021 的相反数是 2021， 故选：A． 14．下列各组数中互为相反数的是（ A．﹣4 和 ） B．4 和﹣4 【解答】解：A、﹣4 和 中的符号不同，数不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意； B、4 是相反数是﹣4，故本选项符合题意； C、﹣4 和 中的数都不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意； D、4 和 中的符号相同，数不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意． 故选：B． 15．若 x 与 3 互为相反数，则 x+1 等于（ A．﹣2 B．4 【解答】解：∵x 与 3 互为相反数， ∴x＝﹣3, ∴x+1＝﹣3+1＝﹣2． 故选：A． ） C．﹣4 D．2 16．如果一个数的相反数大于它本身，则这个数为 负 数． 【解答】解：负数的相反数是一个正数，大于它本身． 故这个数是负数． 故答案为：负． 17．若 m 是﹣6 的相反数，则 m 的值是 6 ． 【解答】解：∵m 是﹣6 的相反数， ∴m＝6． 故答案为：6． 18．若 a+12 与﹣8+b 互为相反数，求 a 与 b 的和． 【解答】解：∵a+12 与﹣8+b 互为相反数， ∴a+12﹣8+b＝0， 则 a+b＝﹣4． 知识点 04 绝对值 ⒈绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0 的绝对值是 0. 可用字母表示为： ①如果 a>0，那么|a|=a； ②如果 a<0，那么|a|=-a； ③如果 a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。 ） 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a|≥0。 即 (1)正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数 轴上表示某数的点离开原点的距离；绝对值是 0 的数是 0.即：a=0 <═> |a|=0； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是 0.绝对值可表示为：或 ； 即：|a|≥0；绝对值的问题经常分类讨论 19．﹣2021 的绝对值是（ A．﹣2021 ） B．2021 C． D．﹣ 【解答】解：﹣2021 的绝对值为 2021， 故选：B． 20．在 0，1，﹣5，﹣1 四个数中，最小的数是（ ） A．0 B．1 C．﹣5 D．﹣1 【解答】解：∵﹣5＜﹣1＜0＜1， ∴最小的数是﹣5， 故选：C． 21．若|x|＝5，|y|＝2 且 x＜0，y＞0，则 x+y＝（ A．7 B．﹣7 ） C．3 D．﹣3 【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝2， ∴x＝±5，y＝±2， ∵x＜0，y＞0， ∴x＝﹣5，y＝2， ∴x+y＝﹣3． 故选：D． 22．当 x＜1 时，化简：|x﹣1|＝ 1﹣x ． 【解答】解：∵x＜