线段、射线、直线（基础）知识讲解 撰稿：孙景艳 审稿：吴婷婷 【学习目标】 1．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方法表示； 2. 通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验，并初步掌握 用尺规作图法作出相关线段； 3. 能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题； 4. 通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力. 【要点梳理】 要点一、线段、射线、直线的概念及表示 1.概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为“线段”作为最简单、最 基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下： （1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线. （2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线． 要点诠释： （1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短． （2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小. （3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小. （4）线段、射线、直线都没有粗细． 2.表示方法：如图 1、图 2、图 3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以 用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示. 要点诠释： （1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表 示，但直线取的是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个 端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写 字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不 同的射线．如下图 4 中射线 OA，射线 OB 是不同的射线；端点相同且延伸方向也相同的 射线，表示同一条射线．如下图 5 中射线 OA、射线 OB、射线 OC 都表示同一条射线． 图4 图5 （2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 3.线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 表示方法 线段 AB 或线段 a 射线 OA 或射线 a 直线 AB 或直线 a 端点 两个 一个 无 长度 可度量 不可度量 不可度量 延伸性 不向两方延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸 图示 要点二、基本事实 1. 直线：过两点有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 要点诠释： （1）点和直线的位置关系有两种： ① 点在直线上，或者说直线经过这个点.如图 6 中，点 O 在直线 l 上，也可以说成是直 线 l 经过点 O； ② 点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图 6 中，点 P 在直线 l 外，也可以说直线 l 不经过点 P. （2）两条不同直线相交：当两条不同的直线只有一个公共点时，称这两条直线相交，这个 公共点叫做它们的交点. 2.线段：两点之间的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图 7 所示，在 A，B 两点所连的线中，线段 AB 的长度是最短的． 图7 要点诠释： （1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点. 要点三、比较线段的长短 1. 尺规作图的定义：仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图． 要点诠释： （1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连 在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 2.线段的中点：如下图，若点 B 在线段 AC 上，且把“线段”作为线段 AC 分成相等的两条线段 AB 与 BC，这时点 B 叫做线段 AC 的中点． 要点诠释： 1 （1）若点 B 是线段 AC 的中点，则点 B 一定在线段 AC 上且 AB CB  AC ，或 AC＝ 2 2AB＝2BC． （2）类似地，还有线段的三等分点、四等分点等． 3. 用尺规作线段或比较线段 （1） 作一条线段等于已知线段：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用 圆规在射线 AC 上截取 AB＝a． 要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段. （2）线段的比较： 叠合比较法：利用直尺和圆规把“线段”作为线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一 个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图： 要点诠释：线段的比较方法除了叠合比较法外，还可以用度量比较法． 【典型例题】 类型一、相关概念 1.下列说法中，正确的是( ) . A．射线 OA 与射线 AO 是同一条射线. B．线段 AB 与线段 BA 是同一条线段. C．过一点只能画一条直线. D．三条直线两两相交，必有三个交点. 【答案】B 【解析】射线 OA 的端点是 O，射线 AO 的端点是 A，所以射线 OA 与射线 AO 不是同一条 射线，故 A 错误；过一点能画无数条直线，所以 C 错误；三条直线两两相交，有三个交点 或一个交点(三条直线相交于一点时)，所以 D 错误；线段 AB 与线段 BA 是同一条线段，所 以 B 正确． 【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是 表示端点的字母写在前面，不能互换． 举一反三： 【变式 1】以下说法中正确的是 （ A．延长线段 AB 到 C C．直线 AB 的端点之一是 A ）. B．延长射线 AB D．延长射线 OA 到 C 【答案】A 【变式 2】如图所示，请分别指出图中的线段、射线和直线的条数，并把“线段”作为它们分别表示出 来. 【答案】 解：如下图所示，在直线上点 A 左侧和点 C 右侧分别任取点 X 和 Y. 图中有 6 条射线：射线 AX、射线 AY、射线 BX、射线 BY、射线 CX、射线 CY. 有 3 条线段：线段 AB(或 BA)、线段 BC(或 CB)、线段 AC(或 CA) 有 1 条直线：直线 AC(或 AB，BC). 类型二、有关作图 2．如图所示，线段 a，b，且 a＞b． 用圆规和直尺画线段：(1)a+b；(2)a-b． 【答案与解析】 解：(1) 画法如图(1)，画直线 AF，在直线 AF 上画线段 AB＝a，再在 AB 的延长线上画 线段 BC＝b，线段 AC 就是 a 与 b 的和，记作 AC＝a+b． (2) 画法如图(2)，画直线 AF，在直线 AF 上画线段 AB＝a，再在线段 AB 上画线段 BD＝ b，线段 AD 就是 a 与 b 的差，记作 AD＝a-b． 【总结升华】在画线段时，为使结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度． 举一反三： 【变式 1】下列语句正确的是( ). A．画直线 AB＝10cm. B．画直线 AB 的垂直平分线. C．画射线 OB＝3cm. D．延长线段 AB 到 C 使 BC＝AB. 【答案】D 【高清课堂：直线、射线、线段 397363 按语句画图 3（3）】 【变式 2】用直尺作图：P 是直线 a 外一点，过点 P 有一条线段 b 与直线 a 不相交. 【答案】 解： 类型三、有关条数及长度的计算 3.如图，A、B、C、D 为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两 点，可画出 条直线. 【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数． 【答案】6 条直线 【解析】由两点确定一条直线知，点 A 与 B,C,D 三点各确定一条直线，同理点 B 与 C、D 各确定一条直线，C 与 D 确定一条直线，综上：共有直线：3+2+1=6（条）. 【总结升华】平面上有 n 个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为： 1  2  3  ...  ( n  1)  n(n  1) ． 2 举一反三： 【 变 式 1 】 如 图 所 示 ， 已 知 线 段 AB 上 有 三 个 定 点 C、D、E． (1)图中共有几条线段？ (2)如果在线段 CD 上增加一点，则增加了几条线段？你能从中发现什么规律吗？ 【答案】 解：(1)线段的条数：4＋3＋2＋1＝10(条)； (2)如果在线段 CD 上增加一点 P，则 P 与其它五个点各组成一条线段，因此，增加了 5 条线段. （注解：若在线段 AB 上增加一点，则增加 2 条线段，此时线段总条数为 1＋2；若再增加 一点，则又增加了 3 条线段，此时线段总条数为 1＋2＋3；…；当线段 AB 上增加到 n 个 1 n(n－1) .） 2 【变式 2】如图直线 m 上有 4 个点 A、B、C、D，则图中共有________条射线． 点(即增加 n－2 个点)时，线段的总条数为 1＋2＋……＋(n－1)＝ 【答案】8 4. 如图所示，AB＝40，点 C 为 AB 的中点，点 D 为 CB 上的一点，点 E 是 BD 的中 点，且 EB＝5，求 CD 的长． 【思路点拨】显然 CD＝CB－BD，要求 CD 的长，应先确定 CB 和 BD 的长． 【答案与解析】 解：因为 AB＝40，点 C 为 AB 的中点， 1 2 1 2 所以 CB  AB  40 20 ． 因为点 E 为 BD 的中点，EB＝5， 所以 BD＝2EB＝10．所以 CD＝CB-BD＝20-10＝10． 【总结升华】求线段的长度，注意围绕线段的和、差、倍、分展开，若每一条线段长度均 已确定，所求问题便可迎刃而解． 【高清课堂：直线、射线、线段 397363 画图计算例 2】 举一反三： 【变式】在直线 l 上按指定方向依次取点 A、B、C、D，且使 AB：BC：CD=2：3：4， 如图所示，若 AB 的中点 M 与 CD 的中点 N 的距离是 15cm，求 AB 的长. 【答案】 解：依题意，设 AB＝2x cm，那么 BC＝3x cm，CD＝4x cm．则有： MN=BM+BC+CN= x+3x+2x=15 解得： x  5 2 5 2 所以 AB=2x = 2  5 cm. 类型四、最短问题 5. 如图所示，在一条笔直公路 a 的两侧，分别有 A、B 两个村庄，现要在公路 a 上建 一个汽车站 C，使汽车站到 A、B 两村的距离之和最小，问汽车站 C 的位置应如何确定? 【答案与解析】 解：如图，连接 AB 与直线 a 交于点 C，这个点 C 的位置就是符合条件的汽车站的位置． 【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质 联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的