实际问题与一元一次方程（二）（提高）知识讲解 撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标】 (1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程； (2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路． 【要点梳理】 要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 求解 解答．由此可得解决此类 列方程解应用题的基本思路为：问题 分析   方程 检验   抽象 问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的 关系，寻找等量关系． （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两 边是同一类量，单位要统一． （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去 即可． （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续） 1．利润问题 （1） 利润率= 利润 100% 进价 (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损 .打几 折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 2．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 1 12 3.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一 个两位数的个位数字为 a，十位数字为 b，则这个两位数可以表示为 10b+a． 4．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案 的优劣性后下结论． 【典型例题】 类型一、利润问题 1．文星商店以每支 4 元的价格进 100 支钢笔，卖出时每支的标价 6 元，当卖出一部 分钢笔后，剩余的打 9 折出售，卖完时商店赢利 188 元，其中打 9 折的钢笔有几支? 【答案与解析】 解：设打折的钢笔有 x 支，则有： 6(100-x)+6×90%x＝100×4+188 解得 x＝20 答：打 9 折的钢笔有 20 支． 【总结升华】本题可以采用列表法分析问题： 售价 数量 售出总价 按标价出售 6 100-x 6(100-x) 剩余的打折出售 6×90% x 6×90%x 此外本题还可以这样列方程：(6-4)(100-x)+(6×0.9-4)x＝188，这是以利润作为相等关系来 构建方程的，其结果一样． 举一反三： 【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 388413 思考与研究 1】 【变式】某种商品的标价为 900 元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售， 并返 100 元现金.这样他仍可获得 10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是 多少？（用四舍五入法精确到个位） 【答案】 解：设此商品的进货价为 x 元，依题意，得： (900×0.9-100)-x=10%x， 得：x= 645 5 ∴ x≈645. 11 答：此商品的进价约为 645 元. 类型二、存贷款问题 2．某公司从银行贷款 20 万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为 15%(不 计复利)，每个产品成本是 3.2 元，售价是 5 元，应纳税款为销售款的 10%．如果每年生产 10 万个，并把所得利润(利润＝售价－成本－应纳税款)用来偿还贷款，问几年后能一次性 还清? 【答案与解析】 解：设 x 年后能一次性还清贷款，根据题意， 得(5-3.2-5×10%)·10x＝20+20×15%x． 解之，得 x＝2． 答：所以 2 年后能一次性还清贷款． 【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法，把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存 款本金，贷款的年利率相当于存款的年利率，每年产品的利润＝售价－成本－应纳税款， 产品的总利润等于本息和． 举一反三： 【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 388413 贷款问题】 【变式】小华父母为了准备她上大学时的 16000 元学费，在她上初一时参加教育储蓄， 准备先存一部分，等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为 2.88%），上大学贷款的部分打算用 8 年时间还清（年贷款利息率为 6.21%），贷款利 息的 50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，小 华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？ 【答案】 解：设小华父母用 x 元参加教育储蓄，依题意， x×2.88%×6=(16000-x)×6.21%×8×50%, 解得, x≈9436(元) 16000-9436=6564(元). 答：小华父母用 9436 元参加教育储蓄，还准备贷 6564 元. 类型三、数字问题 3．一个两位数，十位数字比个位数字的 4 倍多 1，将这两个数字调换顺序所得的数比 原数小 63，求原数． 【答案与解析】 解：设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为 4x+1．根据题意得： 10(4x+1)+x＝10x+(4x+1)+63， 解得 x＝2， ∴ 4x+1＝4×2+1＝9，故这个两位数为 92． 答： 这个两位数是 92． 【总结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个两位数，而不是两个数；（2）这类 应用题，一般设间接未知数，切勿求出 x 就答；（3）两位数的表示方法是 10 位上的数字 乘以 10，把所得的结果和个位数字相加 类型四、方案设计问题 4．某牛奶加工厂有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润 500 元， 制成酸奶销售，每吨可获取利润 1200 元；制成奶片销售，每吨可获利润 2000 元，该工 厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工 3 吨；制成奶片每天可加工 1 吨，受人员限制， 两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完 毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案： 方案 1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案 2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好 4 天完成． 你认为选择哪种方案获利最多，为什么? 【答案与解析】 解：（1）若选择方案 1，依题意， 总利润=2000 元×4+500 元×(9-4)=10500 元． （2）若选择方案 2． 设将 x 吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售， 依题意得， x 9 x  4 ， 1 3 解得 x 1.5 ． 当 x 1.5 时， 9  x 7.5 ． 总利润=2000 元×1.5+1200 元×7.5=12000 元． ∵ 12000>10500， ∴ 选择方案 2 较好． 答：选择方案 2 获利最多，只要在四天内用 7.5 吨鲜奶加工成酸奶，用 1.5 吨的鲜奶加工成 奶片． 【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助 我们理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案 2 中，设将 x 吨鲜奶制成奶片，则 列表如下： 每吨利润 吨数 工效 酸奶 1200 9 x 3 奶片 2000 x 1 合计 9 天数 9 x 3 x 1 4 从表中能一目了然条件之间的关系，从而，得到等量关系． 举一反三： 【变式 1】商场出售的 A 型冰箱每台售价 2190 元，每日耗电量为 1 度，而 B 型节能冰箱 每台售价比 A 型冰箱高出 10%，但每日耗电量却为 0.55 度．现将 A 型冰箱打折出售(打 一折后的售价为原价的 1 )，问商场将 A 型冰箱打几折，消费者买 A 型冰箱 10 年的总费 10 用与 B 型冰箱 10 年的总费用相当(每年 365 天，每度电按 0.40 元计算)． 【答案】 解 ： 设 商 场 A 型 冰 箱 打 x 折 ， 依 题 意 ， 买 A 型 冰 箱 需 2190× x 元 ， 10 年 的 电 费 是 10 365×10×1×0.4 元；买 B 型冰箱需 2190×(1+10%)元，10 年的电费是 365×10×0.55×0.4 元， 依题意，得： 2190× x +365×10×1×0.4＝2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4 10 解得：x＝8 答：商场将 A 型冰箱打 8 折出售，消费者买 A 型冰箱 10 年的总费用与 B 型冰箱 10 年的总 费用相当． 【变式 2】某市居民生活用电的基本价格为每度 0.40 元，若每月用电量超过 a 度，超出部 分按基本电价的 70%收费． (1)某户五月份用电 84 度，共交电费 30.72 元，求 a； (2)若该户六月份的电费平均每度 0.36 元，求六月份共用电多少度?应交电费多少元? 【答案】 解： (1)根据题意，得 0.40a+0.40×70%×(84-a)＝30.72． 解得：a＝60． (2)设该户六月份共用电 x 度，因 0.36＜0.40，所以 x＞60，于是超出部分电量为(x-60) 度，依题意，得：0.40×60+0.4×70%(x-60)＝0.36x． 解得：x＝90． 所以 0.36x＝0.36×90＝32.40 元． 答：(1)a＝60；(2)该用户六月份共用电 90 度，应交电费 32.40 元．