有理数的乘除（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算； 2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算； 3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算； 4. 培养观察、分析、归纳及运算能力. 【要点梳理】 要点一、有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同 0 相乘，都得 0． 要点诠释： (1) 不为 0 的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2 与-3 的乘积，应列为(-2)×(-3)，不 应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决 定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0． 要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于 0 的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝 对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0．反之，如果积为 0，那么至少有 一个因数为 0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把 积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把 其中的几个因数相乘．如 abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别 同这几个数相乘，再把积相加．如 a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律 “顺用 ”，也可以把 运算律“逆用”． 要点二、有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把 1 的两个数互为倒数． 要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把互相依存的.如-2 的倒数是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把  存的； (2)0 和任何数相乘都不等于 1，因此 0 没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 1 1 ，-2 和  是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把互相依 2 2 法则一：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a b a  1 (b 0) . b 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0. 要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为 0 没有倒数，所以 0 不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 要点三、有理数的乘除混合运算 由于乘除是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确 定积的符号，最后算出结果． 要点四、有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有“先乘除，后加减 ”的顺序进行，如有 括号，则先算括号里面的． 【典型例题】 类型一、有理数的乘法运算 5  6  4 5 1．计算：(1) ( 3)    1  (  0.25) ； (2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)； (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0． 【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把 小数的要化为分数，是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数 为零，积就为零． (1) 5  4 5 9 1 9 (  3)    1  ( 0.25)  3     ； 6  5 6 5 4 8 (2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)  1 ；            19 个（-1）相乘 (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0． 【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无 关．当因数中有一个数为 0 时，积为 0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把后面的 负因子必须加括号. 2.（2015 秋•碑林区期中）简便计算•碑林区期中）简便计算： （1）（﹣48）×0.125+48× （2）（ ）×（﹣36） 【思路点拨】（1）利用乘法的分配律先提取 48，再进行计算即可得出答案；（2）运用 乘法分配律进行计算即． 【答案与解析】解：（1）（﹣48）×0.125+48× =48×（﹣ + ﹣ ） =48×0 =0； （2）（ ）×（﹣36） =﹣20+27﹣2 =5． 【总结升华】此题考查了有理数的乘法，用到的知识点是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把乘法的分配律，解题的关键是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运 用乘法分配律进行计算． 举一反三： 【变式】用简便方法计算： 2 3 2 1 7 3 (1)  13   0.34   ( 13)  (2) 5 0.34 ； 7  3.14 35.2  6.28 ( 23.3)  1.57 36.4 ． 【答案】 （1）原式  ( 13) 2  ( 13) 1    0.34   2   0.34   5           3 3   7  7    2 1    2 5   ( 13)       0.34       3 3    7 7   ( 13) 1  0.34 ( 1)  13  0.34  13.34 (2) ．  3.14 35.2  6.28 ( 23.3)  1.57 36.4 ＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2 ＝-3.14×(35.2+46.6+18.2) ＝-3.14×100 ＝-314． 类型二、有理数的除法运算   1 7 3 3 3．计算： (  49)   2   (  3) 【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成 分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配 律． 【答案与解析】 解： 3 3 1  1 7  3 3  1  ( 49)   2   ( 3) ( 49)          49      3 7 7 3  3 3  7  7  3  【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求 出结果． 举一反三： 【高清课堂：有理数乘除 381226 有理数除法例 1（3）】 1 3 1 3 1 5 【变式】计算： ( 3 ) (  2 ) (  1 ) 10 3 5 25 ) ( ) ( )  3 7 6 21 类型三、有理数的乘除混合运算 【答案】原式 ( 9 4 4 9 4.计算：  81   (  16) 【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算. 9 4 4 4  1  81   ( 16)  81     1 4 9 9 9  16  【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把同一 级运算，再应按从左到右的顺序进行． 举一反三： 1 4 4 8 9 3 【变式】计算：  10   ( 2) 1 9 4  1  81 9 4 1 243 1 4 4  10   ( 2)  10           8 4 3  2  8 4 3 2 16 8 9 3 【答案】 类型四、有理数的加减乘除混合运算  1   2 1 1 2        30   3 10 6 5  5. 计算：   【答案与解析】 1   2 1 1 2   1   20  3  5  12  1              30 10  30   3 10 6 5   30    方法 1：  方法 2：  2 1 1 2  1   2 1 1 2         ( 30)  10       3 10 6 5   30   3 10 6 5  1   2 1 1 2 1         10  30   3 10 6 5  所以  【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把和的形式，一般先 算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有 方 法 2 利用倒数关系巧妙解决，如果按 a÷(b+c) ＝a÷b+a÷c 进行分配就错了． 举一反三：