第五章 一元一次方程 单元测试 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 1.下列方程中,是一元一次方程的是 A.x2-x=6 B.9x-5= C.x-2y=1 ( ) 2 D.xy+6=5 2.下列说法中,不正确的是 ( ) A.若 a=b,则 ca=cb B.若 a=b,则 2a-c=2b-c C.若 a=b,则 = D.若 a=b,则 2 +1 = 2 +1 3.篮球比赛规定:每场比赛必须分出胜负,胜一场得 3 分,负一场得 1 分.某篮球队共进行了 6 场 比赛,得了 12 分,则该队获胜的场数是 A.2 B.3 C.4 ( ) D.5 1 1 4.下面是一个被污渍污染过的方程:2x- = x2 2 盖的是一个常数,则这个常数是 ( A.2 B.-2 1 C.- 3 ) D. 2 5 ,答案显示此方程的解是 x= ,被污渍遮 1 2 5.方程 2m+x=10 和 3(x-1)=x+5 有相同的解,则 m 的值为( A.0 B.1 C.3 ) D.-6 6.当 x=-1 时,代数式 2ax3-3bx+8 的值为 18,那么代数式 6a-9b+2 的值为 A.28 B.-28 C.32 ( ) D.-32 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 7.已知 4x3n-2-5=0 是关于 x 的一元一次方程,则 n= . 1 8.若关于 x 的方程 2x+16= x-a 的解是 x=-8,则代数式 a2+2a 的值是 4 9.若 a 与 b 互为相反数,且 b≠0,则方程 ax+b=0 的解是 10.已知 a3x-5b 和 2ax+1b 可以合并成一项,则其和是 . . . 11.一件服装的标价为 300 元,打八折销售后可获利 60 元,则该件服装的成本价是 12.按下面的程序计算: 元. 若输入 x 的值为 100,输出结果是 501,若输入 x 的值为 25,输出结果是 631.若开始输入 x 的值 为正整数,最后输出的结果为 556,则开始输入 x 的值为 . 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 13.解方程:(1)5x+2=3(x+2); (2)2(x-3)-3(2x-1)=5(2x+3). 14.若 2x3m-2-20m=0 是关于 x 的一元一次方程,求 m 的值及方程的解. 15.当 x 为何值时,代数式 5 +1 2 -3x 的值比代数式 7 -5 3 的值大 5? 16.小华在解方程 5b-x=8(x 为未知数)时,误将-x 看做+x,得到方程的解为 x=-2,求原方程的解. 17.图①是边长为 30 厘米的正方形纸板,裁掉阴影部分后将它折叠成如图②所示的长方体盒 子,已知这个长方体盒子的宽是高的 2 倍,求它的体积. 四、解答题(本大题共 3 小题,每小题 8 分,共 24 分) 18.程大位是我国明代商人,珠算发明家.他 60 岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学 名著,详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法. 书中有如下问题:一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚得几丁.意思是: 有 100 个和尚分 100 个馒头,如果大和尚 1 人分 3 个,小和尚 3 人分 1 个,正好分完,大、小和尚 各有多少人? 1 1 19.现有下列三个代数式:A= (x-1)-1,B=x- (x-1),C=x+1. 2 (1)当 A,C 互为相反数时,求 x 的值. 3 (2)是否存在 x 的值,使得 B 比 C 的值大 1,若存在,求出 x 的值;若不存在,请说明理由. 20.对于有理数 a,b 定义一种新运算,规定 a☆b=a2-ab. (1)求 2☆(-3)的值; (2)若(-2)☆(3☆x)=4,求 x 的值. 五、解答题(本大题共 2 小题,每小题 9 分,共 18 分) 21.一辆汽车从甲地开往乙地,前三分之一路段为普通公路,其余路段为高速公路.已知汽车在 普通公路上行驶的速度为 60 km/h,汽车在高速公路上行驶的速度为 100 km/h,汽车从甲地开 往乙地共用 2.2 h,求甲地到乙地的路程. 22.如图,已知线段 AB=60 厘米. (1)点 P 沿线段 AB 自点 A 向点 B 以 4 厘米/分的速度运动,同时点 Q 沿线段 AB 自点 B 向点 A 以 6 厘米/分的速度运动,几分钟后,P,Q 两点相遇? (2)几分钟后,P,Q 两点相距 20 厘米? 六、解答题(本大题共 12 分) 23.如图,已知数轴上点 A 表示的数为 8,B 是数轴上位于点 A 左侧一点,且 AB=22,动点 P 从点 A 出发,以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为 t(t>0)秒. (1)数轴上点 B 表示的数是 ,点 P 表示的数是 (用含 t 的代数式表示); (2)若 M 为 AP 的中点,N 为 BP 的中点,在点 P 运动的过程中,线段 MN 的长度是 ; (3)动点 Q 从点 B 出发,以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若点 P,Q 同时出发, 问多少秒后,P,Q 两点之间的距离恰好等于 2 个单位长度? (4)动点 Q 从点 B 出发,以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点 P,Q 同时出发, 问点 P 运动多少秒时追上点 Q? 1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.B 7.1 8.0 9.x=1 10.3a4b 11.180 12.22 或 111 13.解:(1)5x+2=3(x+2). 5x+2=3x+6. 2x=4. x=2. (2)2(x-3)-3(2x-1)=5(2x+3). 2x-6-6x+3=10x+15. -14x=18. 9 x=- . 7 14.解:由题意,得 3m-2=1,解得 m=1. 一元一次方程为 2x-20=0,解得 x=10. 5 +1 15.解:根据题意,得 2 -3x- 3(5x+1)-18x-2(7x-5)=30. 7 -5 3 =5. 15x+3-18x-14x+10=30. -17x=17. x=-1. 16.解:误将方程 5b-x=8 中的-x 看做+x,得到方程的解为 x=-2, 可以理解为方程 5b+x=8 的解为 x=-2. 把 x=-2 代入方程 5b+x=8,得 5b-2=8, 解得 b=2, 所以原方程可化为 10-x=8,解得 x=2. 17.解:设长方体盒子的高为 x 厘米,则宽为 2x 厘米. 根据题意,得 30=2(x+2x),解得 x=5, 所以长方体盒子的宽为 2x=10 厘米,长为 30-2×5=20(厘米), 所以长方体盒子的体积为 5×10×20=1000(厘米 3). 18.解:设大和尚有 x 人,则小和尚有(100-x)人. 100- 根据题意,得 3x+ 解得 x=25, 3 =100, 则 100-x=100-25=75. 答:大和尚有 25 人,小和尚有 75 人. 19.解:(1)因为 A,C 互为相反数, 所以 A+C=0, 1 即 (x-1)-1+x+1=0, 2 1 解得 x= . 3 (2)存在.因为 B 比 C 的值大 1, 所以 B=C+1, 1 即 x- (x-1)=x+1+1, 3 解得 x=-5. 20.解:(1)2☆(-3)=22-2×(-3)=4+6=10. (2)因为 3☆x=32-3x=9-3x,(-2)☆(3☆x)=4, 所以(-2)☆(9-3x)=4, 所以(-2)2-(-2)(9-3x)=4, 解得 x=3. 21.解:设甲地到乙地的路程是 x km. 1 2 根据题意,得 3 + 3 =2.2, 60 100 解得 x=180. 答:甲地到乙地的路程是 180 km. 22.解:(1)设经过 x 分钟后,P,Q 两点相遇. 依题意,得 4x+6x=60,解得 x=6. 答:经过 6 分钟后,P,Q 两点相遇. (2)设经过 y 分钟后,P,Q 两点相距 20 厘米.分以下两种情况: ①当点 P 在点 Q 的左侧时,4y+6y+20=60,解得 y=4; ②当点 P 在点 Q 的右侧时,4y+6y-20=60,解得 y=8. 答:经过 4 分钟或 8 分钟后,P,Q 两点相距 20 厘米. 23.解:(1)因为点 A 表示的数为 8,点 B 在点 A 左侧,AB=22, 所以点 B 表示的数是 8-22=-14. 因为动点 P 从点 A 出发,以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,运动时间为 t(t> 0)秒, 所以点 P 表示的数是 8-5t. 故答案为-14,8-5t. (2)①当点 P 在 A,B 两点之间运动时,如图(a). 1 1 1 1 1 MN=MP+NP= AP+ BP= (AP+BP)= AB= ×22=11. 2 2 2 2 ②当点 P 运动到点 B 的左侧时,如图(b). 1 1 1 2 1 MN=MP-NP= AP- BP= (AP-BP)= AB=11. 2 2 2 综上,线段 MN 的长度是 11. 2 (3)若点 P,Q 同时出发,设 t 秒后,P,Q 两点之间的距离恰好等于 2 个单位长度. 分两种情况: ①点 P,Q 相遇之前, 由题意,得 3t+2+5t=22,解得 t=2.5; ②点 P,Q 相遇之后, 由题意,得 3t-2+5t=22,解得 t=3. 答:点 P,Q 同时出发,2.5 秒或 3 秒后,P,Q 两点之间的距离恰好等于 2 个单位长度. (4)设点 P 运动 x 秒时追上点 Q. 由题意,得 5x-3x=22, 解得 x=11. 所以点 P 运动 11 秒时追上点 Q.